Ensembles finis Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x = 0$ .

$2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) - 15 x^{2} - 144 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 15 x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 15 x) - 144 x = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 144 x$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 15 x) + x \cdot - 144 = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2}) + x (- 15 x)$ .

$x (2 x^{2} - 15 x) + x \cdot - 144 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2} - 15 x) + x \cdot - 144$ .

$x (2 x^{2} - 15 x - 144) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 15 x - 144 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $2 x^{2} - 15 x - 144$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $2 x^{2} - 15 x - 144$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 15 x - 144 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $2 x^{2} - 15 x - 144 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 15$ et $c = - 144$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 144)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 2 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 144$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 8 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 144$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1152}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Additionnez $225$ et $1152$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{1377}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4

Réécrivez $1377$ comme $9^{2} \cdot 17$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $81$ à partir de $1377$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81 (17)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{9^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 2 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 144$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 8 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 144$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1152}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Additionnez $225$ et $1152$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{1377}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4

Réécrivez $1377$ comme $9^{2} \cdot 17$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.4.1

Factorisez $81$ à partir de $1377$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81 (17)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{9^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 2 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 144$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 8 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 144$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1152}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Additionnez $225$ et $1152$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{1377}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4

Réécrivez $1377$ comme $9^{2} \cdot 17$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.4.1

Factorisez $81$ à partir de $1377$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81 (17)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{9^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, \frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 x^{2} - 15 x - 144) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, \frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, 0), (\frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 15 \cdot 0^{2} - 144 \cdot 0$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Étape 2.2.4

Simplifiez $2 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 15 \cdot 0 - 144 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 15$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 \cdot 0$

Étape 2.2.4.1.5

Multipliez $- 144$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, 0), (\frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4