Ensembles finis Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3 = 0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 1.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Étape 1.2.2.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$4 \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 27 - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Étape 1.2.2.3.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$108 - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Étape 1.2.2.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$108 - 9 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 3$

Étape 1.2.2.3.5

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$108 - 81 - 8 \cdot 3 - 3$

Étape 1.2.2.3.6

Soustrayez $81$ de $108$ .

$27 - 8 \cdot 3 - 3$

Étape 1.2.2.3.7

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$27 - 24 - 3$

Étape 1.2.2.3.8

Soustrayez $24$ de $27$ .

$3 - 3$

Étape 1.2.2.3.9

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0$

Étape 1.2.2.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3}{x - 3}$

Étape 1.2.2.5

Divisez $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ par $x - 3$ .

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Étape 1.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x$

$3$

Étape 1.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$

Étape 1.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			+	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} - 12 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 1.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 1.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 1.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - 9 x$

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Étape 1.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$

Étape 1.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Étape 1.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Étape 1.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							+	$x$	-	$3$

Étape 1.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 3$

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$

Étape 1.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$
										$0$

Étape 1.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$4 x^{2} + 3 x + 1$

Étape 1.2.2.6

Écrivez $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (4 x^{2} + 3 x + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.5

Définissez $4 x^{2} + 3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $4 x^{2} + 3 x + 1$ égal à $0$ .

$4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 3$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.2.5.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.2.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{7})}{8}$

Étape 1.2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{7})}{8}$

Étape 1.2.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.2.5.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.2.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{7})}{8}$

Étape 1.2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{7})}{8}$

Étape 1.2.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (4 x^{2} + 3 x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(3, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2.4

Simplifiez $4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2.4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2.4.1.5

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 3$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 3$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 3$

Étape 2.2.4.2.3

Soustrayez $3$ de $0$ .

$y = - 3$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 3)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(3, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 3)$

Étape 4