Ensembles finis Exemples

$f (x) = 3 x^{3} - 12 x^{2} + 3 x$

Étape 1

Définissez $3 x^{3} - 12 x^{2} + 3 x$ égal à $0$ .

$3 x^{3} - 12 x^{2} + 3 x = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3} - 12 x^{2} + 3 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 12 x^{2} + 3 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x) + 3 x = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x) + 3 x (1) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x)$ .

$3 x (x^{2} - 4 x) + 3 x (1) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x^{2} - 4 x) + 3 x (1)$ .

$3 x (x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} - 4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} - 4 x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x^{2} - 4 x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 0, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$x = 0, 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$

Étape 4