Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 7 x + 14}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x - 3) (2 x^{2} + x - 3)}$

Étape 1

Définissez $\frac{2 x^{2} + 7 x + 14}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x - 3) (2 x^{2} + x - 3)}$ égal à $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 14}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x - 3) (2 x^{2} + x - 3)} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{2} + 7 x + 14 = 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 7$ et $c = 14$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 14)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 14$ .

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Étape 2.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $14$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 112}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.3

Soustrayez $112$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.4

Réécrivez $- 63$ comme $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (63)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.7

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 7 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm 3 i \sqrt{7}}{4}$

Étape 2.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{7 - 3 i \sqrt{7}}{4}, - \frac{7 + 3 i \sqrt{7}}{4}$

$x = \frac{- 7 \pm 3 i \sqrt{7}}{4}$

Étape 3