Ensembles finis Exemples

$3 x^{2} + 9 x + 3$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{9}{2 (3)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{9}{2 (3)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$x = - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{2^{2}}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{4}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $3 (\frac{9}{4})$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Associez $3$ et $\frac{9}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 9}{4} + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.6.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $9 (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 (\frac{3}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.7.2

Associez $- 9$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 3}{2} + 3$

Étape 3.2.1.7.3

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27}{2} + 3$

Étape 3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27}{2} + 3$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $\frac{27}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - (\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 3$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{27}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 3$

Étape 3.2.2.3

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2 + 3 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 + 3 \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 + 12}{4}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $54$ de $27$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 12}{4}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $- 27$ et $12$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 15}{4}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{15}{4}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{15}{4}$ .

$- \frac{15}{4}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{15}{4})$

Étape 5