Ensembles finis Exemples

f (x) = x^{2} - 1

$f (x) = x^{2} - 1$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ où

p

$p$ est un facteur de la constante et

q

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ quand

x = 1

$x = 1$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende

(1)

$(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(1)

$(1)$ par le diviseur

(1)

$(1)$ et placez le résultat de

(1)

$(1)$ sous le terme suivant dans le dividende

(0)

$(0)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$

Étape 2.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(1)

$(1)$ par le diviseur

(1)

$(1)$ et placez le résultat de

(1)

$(1)$ sous le terme suivant dans le dividende

(- 1)

$(- 1)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$

Étape 2.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$

Étape 2.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

(1) x + 1

$(1) x + 1$

Étape 2.8

Simplifiez le polynôme quotient.

x + 1

$x + 1$

x + 1

$x + 1$

Étape 3

Comme

1 > 0

$1 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs,

1

$1$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure :

1

$1$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur

\frac{x^{2} - 1}{x + 1}

$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ quand

x = - 1

$x = - 1$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende

(1)

$(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(1)

$(1)$ par le diviseur

(- 1)

$(- 1)$ et placez le résultat de

(- 1)

$(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende

(0)

$(0)$ .

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Étape 4.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat

(- 1)

$(- 1)$ par le diviseur

(- 1)

$(- 1)$ et placez le résultat de

(1)

$(1)$ sous le terme suivant dans le dividende

(- 1)

$(- 1)$ .

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Étape 4.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$0$ $0$

Étape 4.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

(1) x - 1

$(1) x - 1$

Étape 4.8

Simplifiez le polynôme quotient.

x - 1

$x - 1$

x - 1

$x - 1$

Étape 5

Comme

- 1 < 0

$- 1 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe,

- 1

$- 1$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure :

- 1

$- 1$

Étape 6

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Borne supérieure :

1

$1$

Borne inférieure :

- 1

$- 1$

Étape 7