Ensembles finis Exemples

$f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ comme une équation.

$y = 4 + {(x + 3)}^{2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 4 + {(y + 3)}^{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $4 + {(y + 3)}^{2} = x$ .

$4 + {(y + 3)}^{2} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

${(y + 3)}^{2} = x - 4$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 3 = \pm \sqrt{x - 4}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y + 3 = \sqrt{x - 4}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt{x - 4} - 3$

Étape 3.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y + 3 = - \sqrt{x - 4}$

Étape 3.4.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \sqrt{x - 4} - 3$

Étape 3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x - 4} - 3$

$y = - \sqrt{x - 4} - 3$

$y = \sqrt{x - 4} - 3$

$y = - \sqrt{x - 4} - 3$

$y = \sqrt{x - 4} - 3$

$y = - \sqrt{x - 4} - 3$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$ est l’inverse de $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[4, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{x - 4} - 3$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 4}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 4 \geq 0$

Étape 5.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 4$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[4, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$ se trouve sur la plage de $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$ est le domaine de $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$ est l’inverse de $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$

Étape 6