Ensembles finis Exemples

${(2 p - q)}^{6}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(2 p - q)}^{6}$ , $n = 6$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $7$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $2 p$ et $b$ $- q$ dans l’expression.

$1 {(2 p)}^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2 p)}^{6}$ par $1$ .

${(2 p)}^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 p$ .

$2^{6} p^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$64 p^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- q$ .

$64 p^{6} ({(- 1)}^{0} q^{0}) + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 \cdot {(- 1)}^{0} p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$64 \cdot 1 p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.7

Multipliez $64$ par $1$ .

$64 p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$64 p^{6} \cdot 1 + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.9

Multipliez $64$ par $1$ .

$64 p^{6} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $2 p$ .

$64 p^{6} + 6 (2^{5} p^{5}) {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.11

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$64 p^{6} + 6 (32 p^{5}) {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.12

Multipliez $32$ par $6$ .

$64 p^{6} + 192 p^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.13

Simplifiez

$64 p^{6} + 192 p^{5} (- q) + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 p^{6} + 192 \cdot - 1 p^{5} q + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.15

Multipliez $192$ par $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 (2^{4} p^{4}) {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.17

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 (16 p^{4}) {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.18

Multipliez $16$ par $15$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} ({(- 1)}^{2} q^{2}) + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.20

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 \cdot {(- 1)}^{2} p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.21

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 \cdot 1 p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.22

Multipliez $240$ par $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 (2^{3} p^{3}) {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.24

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 (8 p^{3}) {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.25

Multipliez $8$ par $20$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 p^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.26

Appliquez la règle de produit à $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 p^{3} ({(- 1)}^{3} q^{3}) + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.27

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 \cdot {(- 1)}^{3} p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.28

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 \cdot - 1 p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.29

Multipliez $160$ par $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.30

Appliquez la règle de produit à $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 (2^{2} p^{2}) {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.31

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 (4 p^{2}) {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.32

Multipliez $4$ par $15$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.33

Appliquez la règle de produit à $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} ({(- 1)}^{4} q^{4}) + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.34

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 \cdot {(- 1)}^{4} p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.35

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 \cdot 1 p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.36

Multipliez $60$ par $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.37

Simplifiez

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 6 (2 p) {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.38

Multipliez $2$ par $6$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 p {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.39

Appliquez la règle de produit à $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 p ({(- 1)}^{5} q^{5}) + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.40

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 \cdot {(- 1)}^{5} p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.41

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 \cdot - 1 p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.42

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.43

Multipliez ${(2 p)}^{0}$ par $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.44

Appliquez la règle de produit à $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 2^{0} p^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.45

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 p^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.46

Multipliez $p^{0}$ par $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + p^{0} {(- q)}^{6}$

Étape 4.47

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 {(- q)}^{6}$

Étape 4.48

Multipliez ${(- q)}^{6}$ par $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(- q)}^{6}$

Étape 4.49

Appliquez la règle de produit à $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(- 1)}^{6} q^{6}$

Étape 4.50

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 q^{6}$

Étape 4.51

Multipliez $q^{6}$ par $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + q^{6}$