Ensembles finis Exemples

{(1 + 2 i)}^{3}

${(1 + 2 i)}^{3}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

1

$1$

1 - 1

$1 - 1$

1 - 2 - 1

$1 - 2 - 1$

1 - 3 - 3 - 1

$1 - 3 - 3 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de

{(a + b)}^{n}

${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant

n

$n$ et en ajoutant

1

$1$ . Les coefficients correspondront à la droite

n + 1

$n + 1$ du triangle. Pour

{(1 + 2 i)}^{3}

${(1 + 2 i)}^{3}$ ,

n = 3

$n = 3$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite

4

$4$ .

Étape 2

Le développement suit la règle

{(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}

${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont

1 - 3 - 3 - 1

$1 - 3 - 3 - 1$ .

1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de

a

$a$

1

$1$ et

b

$b$

2 i

$2 i$ dans l’expression.

1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez

1

$1$ par

{(1)}^{3}

${(1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1.1

Multipliez

1

$1$ par

{(1)}^{3}

${(1)}^{3}$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Élevez

1

$1$ à la puissance

1

$1$ .

1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.1.2

Additionnez

1

$1$ et

3

$3$ .

1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

1^{4} {(2 i)}^{0}

$1^{4} {(2 i)}^{0}$ .

1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.5

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.7

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.8

Évaluez l’exposant.

1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.9

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.10

Appliquez la règle de produit à

2 i

$2 i$ .

1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.11

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.12

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.13

Multipliez

3 (4 \cdot - 1)

$3 (4 \cdot - 1)$ .

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Étape 4.1.13.1

Multipliez

4

$4$ par

- 1

$- 1$ .

1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.13.2

Multipliez

3

$3$ par

- 4

$- 4$ .

1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.14

Multipliez

1

$1$ par

{(1)}^{0}

${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.14.1

Multipliez

1

$1$ par

{(1)}^{0}

${(1)}^{0}$ .

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Étape 4.1.14.1.1

Élevez

1

$1$ à la puissance

1

$1$ .

1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.14.1.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.14.2

Additionnez

1

$1$ et

0

$0$ .

1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.15

Simplifiez

1^{1} {(2 i)}^{3}

$1^{1} {(2 i)}^{3}$ .

1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.16

Appliquez la règle de produit à

2 i

$2 i$ .

1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

Étape 4.1.17

Élevez

2

$2$ à la puissance

3

$3$ .

1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

Étape 4.1.18

Factorisez

i^{2}

$i^{2}$ .

1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

Étape 4.1.19

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

Étape 4.1.20

Réécrivez

- 1 i

$- 1 i$ comme

- i

$- i$ .

1 + 6 i - 12 + 8 (- i)

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

Étape 4.1.21

Multipliez

- 1

$- 1$ par

8

$8$ .

1 + 6 i - 12 - 8 i

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

1 + 6 i - 12 - 8 i

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.1

Soustrayez

12

$12$ de

1

$1$ .

- 11 + 6 i - 8 i

$- 11 + 6 i - 8 i$

Étape 4.2.2

Soustrayez

8 i

$8 i$ de

6 i

$6 i$ .

- 11 - 2 i

$- 11 - 2 i$

- 11 - 2 i

$- 11 - 2 i$

- 11 - 2 i

$- 11 - 2 i$