Ensembles finis Exemples

${(1 + 2 i)}^{3}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(1 + 2 i)}^{3}$ , $n = 3$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $4$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $1$ et $b$ $2 i$ dans l’expression.

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{3}$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez $1^{4} {(2 i)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.8

Évaluez l’exposant.

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.10

Appliquez la règle de produit à $2 i$ .

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.12

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.13

Multipliez $3 (4 \cdot - 1)$ .

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Étape 4.1.13.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.13.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.14

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.14.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ .

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Étape 4.1.14.1.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.14.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.14.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.15

Simplifiez $1^{1} {(2 i)}^{3}$ .

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

Étape 4.1.16

Appliquez la règle de produit à $2 i$ .

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

Étape 4.1.17

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

Étape 4.1.18

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

Étape 4.1.19

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

Étape 4.1.20

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

Étape 4.1.21

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $12$ de $1$ .

$- 11 + 6 i - 8 i$

Étape 4.2.2

Soustrayez $8 i$ de $6 i$ .

$- 11 - 2 i$