Ensembles finis Exemples

$x y^{2} = 10^{11}$ , $\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $x y^{2} = 10^{11}$ par $y^{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x y^{2} = 10^{11}$ par $y^{2}$ .

$\frac{x y^{2}}{y^{2}} = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{2}}{y^{2}} = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{10^{11}}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Élevez $10$ à la puissance $11$ .

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{100000000000}{y^{2}}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $\frac{x^{3}}{y} = 10^{19}$ par $\frac{100000000000}{y^{2}}$ .

$\frac{{(\frac{100000000000}{y^{2}})}^{3}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez $\frac{{(\frac{100000000000}{y^{2}})}^{3}}{y} = 10^{19}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez $\frac{{(\frac{100000000000}{y^{2}})}^{3}}{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{100000000000}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{{(y^{2})}^{3}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 2.2.1.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{2 \cdot 3}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 2.2.1.1.1.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{6}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{6}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{\frac{100000000000^{3}}{y^{6}}}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{100000000000^{3}}{y^{6}} \cdot \frac{1}{y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 2.2.1.1.3

Associez.

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6} y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 2.2.1.1.4

Multipliez $y^{6}$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.4.1

Multipliez $y^{6}$ par $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.4.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6} y} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 2.2.1.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6 + 1}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{6 + 1}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3} \cdot 1}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 2.2.1.1.5

Multipliez $100000000000^{3}$ par $1$ .

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10^{19}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

Élevez $10$ à la puissance $19$ .

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{7}, 1$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$ par $y^{7}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} = 10000000000000000000$ par $y^{7}$ .

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} \cdot y^{7} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{7}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{100000000000^{3}}{y^{7}} \cdot y^{7} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$100000000000^{3} = 10000000000000000000 y^{7}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$ .

$10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$ par $10000000000000000000$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $10000000000000000000 y^{7} = 100000000000^{3}$ par $10000000000000000000$ .

$\frac{10000000000000000000 y^{7}}{10000000000000000000} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10000000000000000000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10000000000000000000 y^{7}}{10000000000000000000} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Divisez $y^{7}$ par $1$ .

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y^{7} = \frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[7]{\frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez $\sqrt[7]{\frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}}$ .

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez $\sqrt[7]{\frac{100000000000^{3}}{10000000000000000000}}$ comme $\frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{10000000000000000000}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{10000000000000000000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.4.2.1

Réécrivez $10000000000000000000$ comme $100^{7} \cdot 100000$ .

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Étape 3.3.4.2.1.1

Factorisez $100000000000000$ à partir de $10000000000000000000$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{100000000000000 (100000)}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Réécrivez $100000000000000$ comme $100^{7}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{100^{7} \cdot 100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{\sqrt[7]{100^{7} \cdot 100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.3

Multipliez $\frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$ par $\frac{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}}}{100 \sqrt[7]{100000}}$ par $\frac{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}{{\sqrt[7]{100000}}^{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \sqrt[7]{100000} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4.2

Déplacez $\sqrt[7]{100000}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 (\sqrt[7]{100000} {\sqrt[7]{100000}}^{6})}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4.3

Élevez $\sqrt[7]{100000}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 (\sqrt[7]{100000} {\sqrt[7]{100000}}^{6})}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 {\sqrt[7]{100000}}^{1 + 6}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4.5

Additionnez $1$ et $6$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 {\sqrt[7]{100000}}^{7}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt[7]{100000}}^{7}$ comme $100000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{100000}$ comme $100000^{\frac{1}{7}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 {(100000^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000^{\frac{7}{7}}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000^{\frac{7}{7}}}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} {\sqrt[7]{100000}}^{6}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.5

Réécrivez ${\sqrt[7]{100000}}^{6}$ comme $\sqrt[7]{100000^{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} \sqrt[7]{100000^{6}}}{100 \cdot 100000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.6

Multipliez $100$ par $100000$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3}} \sqrt[7]{100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[7]{100000000000^{3} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.7.2

Réécrivez $100000000000$ comme $10^{11}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{{(10^{11})}^{3} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.7.3

Multipliez les exposants dans ${(10^{11})}^{3}$ .

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Étape 3.3.4.7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{11 \cdot 3} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.7.3.2

Multipliez $11$ par $3$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 100000^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.7.4

Réécrivez $100000$ comme $10^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot {(10^{5})}^{6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.7.5

Multipliez les exposants dans ${(10^{5})}^{6}$ .

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Étape 3.3.4.7.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 10^{5 \cdot 6}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.7.5.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 10^{30}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33} \cdot 10^{30}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.7.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{33 + 30}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.7.7

Additionnez $33$ et $30$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{63}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{\sqrt[7]{10^{63}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.8.1

Réécrivez $10^{63}$ comme ${(10^{9})}^{7}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{{(10^{9})}^{7}}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$y = \frac{10^{9}}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.8.3

Élevez $10$ à la puissance $9$ .

$y = \frac{1000000000}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = \frac{1000000000}{10000000}$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 3.3.4.9

Divisez $1000000000$ par $10000000$ .

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

$y = 100$

$x = \frac{100000000000}{y^{2}}$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $100$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{100000000000}{y^{2}}$ par $100$ .

$x = \frac{100000000000}{{(100)}^{2}}$

$y = 100$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\frac{100000000000}{{(100)}^{2}}$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez $100$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{100000000000}{10000}$

$y = 100$

Étape 4.2.1.2

Divisez $100000000000$ par $10000$ .

$x = 10000000$

$y = 100$

$x = 10000000$

$y = 100$

$x = 10000000$

$y = 100$

$x = 10000000$

$y = 100$

Étape 5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(10000000, 100)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(10000000, 100)$

Forme de l’équation :

$x = 10000000, y = 100$

Étape 7