Ensembles finis Exemples

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$ , $2 y - x = 2$

Étape 1

Résolvez $y$ dans $2 y - x = 2$ .

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Étape 1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 2 + x$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 2 + x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 2 + x$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $1 + \frac{x}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x^{2} - 4 y^{2} = 16$ par $1 + \frac{x}{2}$ .

$x^{2} - 4 {(1 + \frac{x}{2})}^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $x^{2} - 4 {(1 + \frac{x}{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez ${(1 + \frac{x}{2})}^{2}$ comme $(1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{2})$ .

$x^{2} - 4 ((1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{2})) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Développez $(1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 (1 (1 + \frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot (1 + \frac{x}{2})) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 (1 \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot (1 + \frac{x}{2})) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 (1 \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.3.1.2

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.3.1.3

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.3.1.4

Multipliez $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1.4.1

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.3.1.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.3.1.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.3.1.4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.3.2

Additionnez $\frac{x}{2}$ et $\frac{x}{2}$ .

$x^{2} - 4 (1 + 2 (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + 2 (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 4 (1 + 2 (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 4 (1 + x + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + x + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x - 4 \frac{x^{2}}{4} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.6

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1.6.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x^{2} - 4 - 4 x - 4 \frac{x^{2}}{4} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$x^{2} - 4 - 4 x + 4 (- 1) (\frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 4 - 4 x + 4 \cdot (- 1 \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 4 - 4 x - 1 x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 - 4 x - 1 x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 - 4 x - 1 x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.1.7

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$x^{2} - 4 - 4 x - x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 - 4 x - x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 4 - 4 x - x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 4 - 4 x + 0 = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $- 4 - 4 x$ et $0$ .

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 3

Résolvez $x$ dans $- 4 - 4 x = 16$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x = 16 + 4$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 3.1.2

Additionnez $16$ et $4$ .

$- 4 x = 20$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 x = 20$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = 20$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = 20$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $20$ par $- 4$ .

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 5$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = 1 + \frac{x}{2}$ par $- 5$ .

$y = 1 + \frac{- 5}{2}$

$x = - 5$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $1 + \frac{- 5}{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 1 - \frac{5}{2}$

$x = - 5$

Étape 4.2.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

$x = - 5$

Étape 4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 - 5}{2}$

$x = - 5$

Étape 4.2.1.4

Soustrayez $5$ de $2$ .

$y = \frac{- 3}{2}$

$x = - 5$

Étape 4.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

Étape 5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- 5, - \frac{3}{2})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(- 5, - \frac{3}{2})$

Forme de l’équation :

$x = - 5, y = - \frac{3}{2}$

Étape 7