Ensembles finis Exemples

$x^{2} + y^{2} = 9$ , ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

Étape 1

Résolvez $x$ dans $x^{2} + y^{2} = 9$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9 - y^{2}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

Étape 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9 - y^{2}}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

Étape 1.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9 - y^{2}}$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} - y^{2}}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \pm \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

Étape 1.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

Étape 1.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

Étape 1.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$x = - \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$x = - \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$x = - \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

Étape 2

Résolvez le système $x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}, {(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ .

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ par $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ .

${((\sqrt{(3 + y) (3 - y)}) - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez ${((\sqrt{(3 + y) (3 - y)}) - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3)}^{2}$ comme $(\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3)$ .

$(\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.2

Développez $(\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) - 3 (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ .

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sqrt{(3 + y) (3 - y)}}^{1 + 1} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${\sqrt{(3 + y) (3 - y)}}^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${\sqrt{(3 + y) (3 - y)}}^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{(3 + y) (3 - y)}}^{2}$ comme $(3 + y) (3 - y)$ .

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ comme ${((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${((3 + y) (3 - y))}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

${((3 + y) (3 - y))}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$((3 + y) (3 - y)) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$((3 + y) (3 - y)) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.2.5

Simplifiez

$(3 + y) (3 - y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$(3 + y) (3 - y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.3

Développez $(3 + y) (3 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (3 - y) + y (3 - y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 3 + 3 (- y) + y (3 - y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 3 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$3 \cdot 3 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.4.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 - 3 y + y \cdot 3 + y (- y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.4.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$9 - 3 y + 3 \cdot y + y (- y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 - 3 y + 3 y - y \cdot y + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.4.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.4.1.5.1

Déplacez $y$ .

$9 - 3 y + 3 y - (y \cdot y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.4.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$9 - 3 y + 3 y - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$9 - 3 y + 3 y - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$9 - 3 y + 3 y - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.4.2

Additionnez $- 3 y$ et $3 y$ .

$9 + 0 - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.4.3

Additionnez $9$ et $0$ .

$9 - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$9 - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ .

$9 - y^{2} - 3 \cdot \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$9 - y^{2} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 9 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$9 - y^{2} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 9 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.2

Additionnez $9$ et $9$ .

$18 - y^{2} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.3

Soustrayez $3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ de $- 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ .

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.4

Réécrivez ${(y + 3)}^{2}$ comme $(y + 3) (y + 3)$ .

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + (y + 3) (y + 3) = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.5

Développez $(y + 3) (y + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y (y + 3) + 3 (y + 3) = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3) = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1.6.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.6.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 3 y + 3 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 3 y + 3 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.6.2

Additionnez $3 y$ et $3 y$ .

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Associez les termes opposés dans $18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 6 y + 9$ .

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Étape 2.1.2.1.2.1.1

Additionnez $- y^{2}$ et $y^{2}$ .

$18 + 0 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.2.1.2

Additionnez $18$ et $0$ .

$18 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.1.2.1.2.2

Additionnez $18$ et $9$ .

$27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ dans $27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$ .

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Étape 2.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.1.1

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9 - 27$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.1.2

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} = 9 - 27 - 6 y$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.1.3

Soustrayez $27$ de $9$ .

$- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} = - 18 - 6 y$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} = - 18 - 6 y$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ comme ${((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6 {((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1

Simplifiez ${(- 6 {((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.1

Développez $(3 + y) (3 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(- 6 {(3 (3 - y) + y (3 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(- 6 {(3 \cdot 3 + 3 (- y) + y (3 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${(- 6 {(3 \cdot 3 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(- 6 {(3 \cdot 3 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.2.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

${(- 6 {(9 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${(- 6 {(9 - 3 y + y \cdot 3 + y (- y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 \cdot y + y (- y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 y - y \cdot y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.2.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.2.1.5.1

Déplacez $y$ .

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 y - (y \cdot y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 y - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 y - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 y - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.2.2

Additionnez $- 3 y$ et $3 y$ .

${(- 6 {(9 + 0 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.2.3

Additionnez $9$ et $0$ .

${(- 6 {(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(- 6 {(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $- 6 {(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.4

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$36 {({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.5

Multipliez les exposants dans ${({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.2.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 {(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 (9 - y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$36 (9 - y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$36 (9 - y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.6

Simplifiez

$36 (9 - y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$36 \cdot 9 + 36 (- y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.8

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1.8.1

Multipliez $36$ par $9$ .

$324 + 36 (- y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.2.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$324 - 36 y^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1

Simplifiez ${(- 18 - 6 y)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1.1

Réécrivez ${(- 18 - 6 y)}^{2}$ comme $(- 18 - 6 y) (- 18 - 6 y)$ .

$324 - 36 y^{2} = (- 18 - 6 y) (- 18 - 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.2

Développez $(- 18 - 6 y) (- 18 - 6 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$324 - 36 y^{2} = - 18 (- 18 - 6 y) - 6 y (- 18 - 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$324 - 36 y^{2} = - 18 \cdot - 18 - 18 (- 6 y) - 6 y (- 18 - 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$324 - 36 y^{2} = - 18 \cdot - 18 - 18 (- 6 y) - 6 y \cdot - 18 - 6 y (- 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = - 18 \cdot - 18 - 18 (- 6 y) - 6 y \cdot - 18 - 6 y (- 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1.3.1.1

Multipliez $- 18$ par $- 18$ .

$324 - 36 y^{2} = 324 - 18 (- 6 y) - 6 y \cdot - 18 - 6 y (- 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.3.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 18$ .

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y - 6 y \cdot - 18 - 6 y (- 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.3.1.3

Multipliez $- 18$ par $- 6$ .

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y - 6 y (- 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y - 6 \cdot (- 6 y \cdot y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y - 6 \cdot (- 6 (y \cdot y))$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y - 6 \cdot (- 6 y^{2})$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y - 6 \cdot (- 6 y^{2})$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.3.3.1.3.2

Additionnez $108 y$ et $108 y$ .

$324 - 36 y^{2} = 324 + 216 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 216 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 216 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 216 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 216 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.4.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$324 + 216 y + 36 y^{2} = 324 - 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.4.2.1

Ajoutez $36 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$324 + 216 y + 36 y^{2} + 36 y^{2} = 324$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $36 y^{2}$ et $36 y^{2}$ .

$324 + 216 y + 72 y^{2} = 324$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 + 216 y + 72 y^{2} = 324$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.3

Soustrayez $324$ des deux côtés de l’équation.

$324 + 216 y + 72 y^{2} - 324 = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.4

Associez les termes opposés dans $324 + 216 y + 72 y^{2} - 324$ .

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Étape 2.2.4.4.1

Soustrayez $324$ de $324$ .

$216 y + 72 y^{2} + 0 = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.4.2

Additionnez $216 y + 72 y^{2}$ et $0$ .

$216 y + 72 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$216 y + 72 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.5

Factorisez $72 y$ à partir de $216 y + 72 y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.5.1

Factorisez $72 y$ à partir de $216 y$ .

$72 y (3) + 72 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.5.2

Factorisez $72 y$ à partir de $72 y^{2}$ .

$72 y (3) + 72 y (y) = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.5.3

Factorisez $72 y$ à partir de $72 y (3) + 72 y (y)$ .

$72 y (3 + y) = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$72 y (3 + y) = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$3 + y = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.7

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.8

Définissez $3 + y$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.2.4.8.1

Définissez $3 + y$ égal à $0$ .

$3 + y = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.8.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 3$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$y = - 3$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.2.4.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $72 y (3 + y) = 0$ vraie.

$y = 0, - 3$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$y = 0, - 3$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$y = 0, - 3$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $0$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ par $0$ .

$x = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

$y = 0$

Étape 2.3.2

Simplifiez $x = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$ .

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$x = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

$y = 0$

$x = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

$y = 0$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$x = \sqrt{3 (3 - (0))}$

$y = 0$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$x = \sqrt{3 (3 + 0)}$

$y = 0$

Étape 2.3.2.2.1.3

Additionnez $3$ et $0$ .

$x = \sqrt{3 \cdot 3}$

$y = 0$

Étape 2.3.2.2.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \sqrt{9}$

$y = 0$

Étape 2.3.2.2.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2}}$

$y = 0$

Étape 2.3.2.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

Étape 2.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 3$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ par $- 3$ .

$x = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

$y = - 3$

Étape 2.4.2

Simplifiez $x = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$x = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

$y = - 3$

$x = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

$y = - 3$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$x = \sqrt{0 (3 - (- 3))}$

$y = - 3$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$x = \sqrt{0 (3 + 3)}$

$y = - 3$

Étape 2.4.2.2.1.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$x = \sqrt{0 \cdot 6}$

$y = - 3$

Étape 2.4.2.2.1.4

Multipliez $0$ par $6$ .

$x = \sqrt{0}$

$y = - 3$

Étape 2.4.2.2.1.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \sqrt{0^{2}}$

$y = - 3$

Étape 2.4.2.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

Étape 3

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(3, 0)$

$(0, - 3)$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(3, 0), (0, - 3), (0, - 3)$

Forme de l’équation :

$x = 3, y = 0$

$x = 0, y = - 3$

Étape 5