Ensembles finis Exemples

$x^{2} + y^{2} = 73$ , $x - y = 5$

Étape 1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5 + y$

$x^{2} + y^{2} = 73$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $5 + y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + y^{2} = 73$ par $5 + y$ .

${(5 + y)}^{2} + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(5 + y)}^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez ${(5 + y)}^{2}$ comme $(5 + y) (5 + y)$ .

$(5 + y) (5 + y) + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

Étape 2.2.1.1.2

Développez $(5 + y) (5 + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (5 + y) + y (5 + y) + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

Étape 2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 5 + 5 y + y (5 + y) + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

Étape 2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 5 + 5 y + y \cdot 5 + y \cdot y + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

$5 \cdot 5 + 5 y + y \cdot 5 + y \cdot y + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.3.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 + 5 y + y \cdot 5 + y \cdot y + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

Étape 2.2.1.1.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $y$ .

$25 + 5 y + 5 \cdot y + y \cdot y + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

Étape 2.2.1.1.3.1.3

Multipliez $y$ par $y$ .

$25 + 5 y + 5 y + y^{2} + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

$25 + 5 y + 5 y + y^{2} + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

Étape 2.2.1.1.3.2

Additionnez $5 y$ et $5 y$ .

$25 + 10 y + y^{2} + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

$25 + 10 y + y^{2} + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

$25 + 10 y + y^{2} + y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $y^{2}$ et $y^{2}$ .

$25 + 10 y + 2 y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

$25 + 10 y + 2 y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

$25 + 10 y + 2 y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

$25 + 10 y + 2 y^{2} = 73$

$x = 5 + y$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $25 + 10 y + 2 y^{2} = 73$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $73$ des deux côtés de l’équation.

$25 + 10 y + 2 y^{2} - 73 = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.2

Soustrayez $73$ de $25$ .

$10 y + 2 y^{2} - 48 = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10 y + 2 y^{2} - 48$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 y$ .

$2 (5 y) + 2 y^{2} - 48 = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$2 (5 y) + 2 (y^{2}) - 48 = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 48$ .

$2 (5 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 24 = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 y) + 2 y^{2}$ .

$2 (5 y + y^{2}) + 2 \cdot - 24 = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 y + y^{2}) + 2 \cdot - 24$ .

$2 (5 y + y^{2} - 24) = 0$

$x = 5 + y$

$2 (5 y + y^{2} - 24) = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.3.2

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$2 (5 u + u^{2} - 24) = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.3.3

Factorisez $5 u + u^{2} - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $5$ .

$- 3, 8$

$x = 5 + y$

Étape 3.3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((u - 3) (u + 8)) = 0$

$x = 5 + y$

$2 ((u - 3) (u + 8)) = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.3.4

Factorisez.

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Étape 3.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 ((y - 3) (y + 8)) = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (y - 3) (y + 8) = 0$

$x = 5 + y$

$2 (y - 3) (y + 8) = 0$

$x = 5 + y$

$2 (y - 3) (y + 8) = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 8 = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.5

Définissez $y - 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $y - 3$ égal à $0$ .

$y - 3 = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3$

$x = 5 + y$

$y = 3$

$x = 5 + y$

Étape 3.6

Définissez $y + 8$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $y + 8$ égal à $0$ .

$y + 8 = 0$

$x = 5 + y$

Étape 3.6.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 8$

$x = 5 + y$

$y = - 8$

$x = 5 + y$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (y - 3) (y + 8) = 0$ vraie.

$y = 3, - 8$

$x = 5 + y$

$y = 3, - 8$

$x = 5 + y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $3$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 5 + y$ par $3$ .

$x = 5 + 3$

$y = 3$

Étape 4.2

Simplifiez $x = 5 + 3$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 5 + 3$

$y = 3$

$x = 5 + 3$

$y = 3$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $5$ et $3$ .

$x = 8$

$y = 3$

$x = 8$

$y = 3$

$x = 8$

$y = 3$

$x = 8$

$y = 3$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 8$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 5 + y$ par $- 8$ .

$x = 5 - 8$

$y = - 8$

Étape 5.2

Simplifiez $x = 5 - 8$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 5 - 8$

$y = - 8$

$x = 5 - 8$

$y = - 8$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $8$ de $5$ .

$x = - 3$

$y = - 8$

$x = - 3$

$y = - 8$

$x = - 3$

$y = - 8$

$x = - 3$

$y = - 8$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(8, 3)$

$(- 3, - 8)$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(8, 3), (- 3, - 8)$

Forme de l’équation :

$x = 8, y = 3$

$x = - 3, y = - 8$

Étape 8