Ensembles finis Exemples

$x^{2} + y^{2} = 41$ , $x + y = 9$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x = 9 - y$

$x^{2} + y^{2} = 41$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $9 - y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + y^{2} = 41$ par $9 - y$ .

${(9 - y)}^{2} + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(9 - y)}^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez ${(9 - y)}^{2}$ comme $(9 - y) (9 - y)$ .

$(9 - y) (9 - y) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.2

Développez $(9 - y) (9 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 (9 - y) - y (9 - y) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 \cdot 9 + 9 (- y) - y (9 - y) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 \cdot 9 + 9 (- y) - y \cdot 9 - y (- y) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

$9 \cdot 9 + 9 (- y) - y \cdot 9 - y (- y) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.3.1.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$81 + 9 (- y) - y \cdot 9 - y (- y) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$81 - 9 y - y \cdot 9 - y (- y) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$81 - 9 y - 9 y - y (- y) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81 - 9 y - 9 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$81 - 9 y - 9 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$81 - 9 y - 9 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

$81 - 9 y - 9 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$81 - 9 y - 9 y + 1 y^{2} + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$81 - 9 y - 9 y + y^{2} + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

$81 - 9 y - 9 y + y^{2} + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.1.3.2

Soustrayez $9 y$ de $- 9 y$ .

$81 - 18 y + y^{2} + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

$81 - 18 y + y^{2} + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

$81 - 18 y + y^{2} + y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $y^{2}$ et $y^{2}$ .

$81 - 18 y + 2 y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

$81 - 18 y + 2 y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

$81 - 18 y + 2 y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

$81 - 18 y + 2 y^{2} = 41$

$x = 9 - y$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $81 - 18 y + 2 y^{2} = 41$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $41$ des deux côtés de l’équation.

$81 - 18 y + 2 y^{2} - 41 = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.2

Soustrayez $41$ de $81$ .

$- 18 y + 2 y^{2} + 40 = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18 y + 2 y^{2} + 40$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18 y$ .

$2 (- 9 y) + 2 y^{2} + 40 = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$2 (- 9 y) + 2 (y^{2}) + 40 = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$2 (- 9 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot 20 = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 9 y) + 2 y^{2}$ .

$2 (- 9 y + y^{2}) + 2 \cdot 20 = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 9 y + y^{2}) + 2 \cdot 20$ .

$2 (- 9 y + y^{2} + 20) = 0$

$x = 9 - y$

$2 (- 9 y + y^{2} + 20) = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.3.2

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$2 (- 9 u + u^{2} + 20) = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.3.3

Factorisez $- 9 u + u^{2} + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 5, - 4$

$x = 9 - y$

Étape 3.3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((u - 5) (u - 4)) = 0$

$x = 9 - y$

$2 ((u - 5) (u - 4)) = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.3.4

Factorisez.

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Étape 3.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 ((y - 5) (y - 4)) = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (y - 5) (y - 4) = 0$

$x = 9 - y$

$2 (y - 5) (y - 4) = 0$

$x = 9 - y$

$2 (y - 5) (y - 4) = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 5 = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.5

Définissez $y - 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $y - 5$ égal à $0$ .

$y - 5 = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5$

$x = 9 - y$

$y = 5$

$x = 9 - y$

Étape 3.6

Définissez $y - 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $y - 4$ égal à $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 9 - y$

Étape 3.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 4$

$x = 9 - y$

$y = 4$

$x = 9 - y$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (y - 5) (y - 4) = 0$ vraie.

$y = 5, 4$

$x = 9 - y$

$y = 5, 4$

$x = 9 - y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $5$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 9 - y$ par $5$ .

$x = 9 - (5)$

$y = 5$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $9 - (5)$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x = 9 - 5$

$y = 5$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $5$ de $9$ .

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $4$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 9 - y$ par $4$ .

$x = 9 - (4)$

$y = 4$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $9 - (4)$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x = 9 - 4$

$y = 4$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$x = 5$

$y = 4$

$x = 5$

$y = 4$

$x = 5$

$y = 4$

$x = 5$

$y = 4$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(4, 5)$

$(5, 4)$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(4, 5), (5, 4)$

Forme de l’équation :

$x = 4, y = 5$

$x = 5, y = 4$

Étape 8