Ensembles finis Exemples

$x^{2} + y^{2} = 36$ , $x + y = 4$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x = 4 - y$

$x^{2} + y^{2} = 36$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $4 - y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + y^{2} = 36$ par $4 - y$ .

${(4 - y)}^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(4 - y)}^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez ${(4 - y)}^{2}$ comme $(4 - y) (4 - y)$ .

$(4 - y) (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.2

Développez $(4 - y) (4 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (4 - y) - y (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$16 - 4 y - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$16 - 4 y - 4 y - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$16 - 4 y - 4 y + 1 y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.3.1.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$16 - 4 y - 4 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 4 y - 4 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.1.3.2

Soustrayez $4 y$ de $- 4 y$ .

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $y^{2}$ et $y^{2}$ .

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$16 - 8 y + 2 y^{2} - 36 = 0$

$x = 4 - y$

Étape 3.2

Soustrayez $36$ de $16$ .

$- 8 y + 2 y^{2} - 20 = 0$

$x = 4 - y$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 y + 2 y^{2} - 20$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 y$ .

$2 (- 4 y) + 2 y^{2} - 20 = 0$

$x = 4 - y$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$2 (- 4 y) + 2 (y^{2}) - 20 = 0$

$x = 4 - y$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$2 (- 4 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 10 = 0$

$x = 4 - y$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 4 y) + 2 y^{2}$ .

$2 (- 4 y + y^{2}) + 2 \cdot - 10 = 0$

$x = 4 - y$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 4 y + y^{2}) + 2 \cdot - 10$ .

$2 (- 4 y + y^{2} - 10) = 0$

$x = 4 - y$

$2 (- 4 y + y^{2} - 10) = 0$

$x = 4 - y$

Étape 3.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$

$x = 4 - y$

$2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$

$x = 4 - y$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (y^{2} - 4 y - 10)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y^{2} - 4 y - 10)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y^{2} - 4 y - 10$ par $1$ .

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

Étape 3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 4 - y$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 10$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.7.1.3

Additionnez $16$ et $40$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $56$ comme $2^{2} \cdot 14$ .

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Étape 3.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

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Étape 3.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 10$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.8.1.3

Additionnez $16$ et $40$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.8.1.4

Réécrivez $56$ comme $2^{2} \cdot 14$ .

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Étape 3.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

Étape 3.8.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Étape 3.8.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Étape 3.9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

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Étape 3.9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.9.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 10$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.9.1.3

Additionnez $16$ et $40$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.9.1.4

Réécrivez $56$ comme $2^{2} \cdot 14$ .

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Étape 3.9.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.9.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.9.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Étape 3.9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

Étape 3.9.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Étape 3.9.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Étape 3.10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $2 + \sqrt{14}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 4 - y$ par $2 + \sqrt{14}$ .

$x = 4 - (2 + \sqrt{14})$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $4 - (2 + \sqrt{14})$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = 4 - 1 \cdot 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = 4 - 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $2 - \sqrt{14}$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 4 - y$ par $2 - \sqrt{14}$ .

$x = 4 - (2 - \sqrt{14})$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $4 - (2 - \sqrt{14})$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = 4 - 1 \cdot 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Étape 5.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $- - \sqrt{14}$ .

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Étape 5.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 4 - 2 + 1 \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Étape 5.2.1.1.3.2

Multipliez $\sqrt{14}$ par $1$ .

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2 - \sqrt{14}, 2 + \sqrt{14})$

$(2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14})$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(2 - \sqrt{14}, 2 + \sqrt{14}), (2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14})$

Forme de l’équation :

$x = 2 - \sqrt{14}, y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}, y = 2 - \sqrt{14}$

Étape 8