Ensembles finis Exemples

$20 x^{2} - 2 y = 0$ , $30 y^{2} - 2 x = 0$

Étape 1

Résolvez $y$ dans $20 x^{2} - 2 y = 0$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $20 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y = - 20 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $- 2 y = - 20 x^{2}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y = - 20 x^{2}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 20 x^{2}}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 20 x^{2}}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 20 x^{2}}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = \frac{- 20 x^{2}}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = \frac{- 20 x^{2}}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $- 2$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 20 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 (10 x^{2})}{- 2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Étape 1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{- 2 (10 x^{2})}{- 2 \cdot 1}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Étape 1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 2 (10 x^{2})}{- 2 \cdot 1}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Étape 1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{10 x^{2}}{1}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Étape 1.2.3.1.2.4

Divisez $10 x^{2}$ par $1$ .

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 y^{2} - 2 x = 0$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $10 x^{2}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $30 y^{2} - 2 x = 0$ par $10 x^{2}$ .

$30 {(10 x^{2})}^{2} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 x^{2}$ .

$30 (10^{2} {(x^{2})}^{2}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$30 (100 {(x^{2})}^{2}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 (100 x^{2 \cdot 2}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$30 (100 x^{4}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$30 (100 x^{4}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $100$ par $30$ .

$3000 x^{4} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$3000 x^{4} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$3000 x^{4} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

$3000 x^{4} - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3

Résolvez $x$ dans $3000 x^{4} - 2 x = 0$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $3000 x^{4} - 2 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $3000 x^{4}$ .

$2 x (1500 x^{3}) - 2 x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x$ .

$2 x (1500 x^{3}) + 2 x (- 1) = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (1500 x^{3}) + 2 x (- 1)$ .

$2 x (1500 x^{3} - 1) = 0$

$y = 10 x^{2}$

$2 x (1500 x^{3} - 1) = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1500 x^{3} - 1 = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4

Définissez $1500 x^{3} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $1500 x^{3} - 1$ égal à $0$ .

$1500 x^{3} - 1 = 0$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2

Résolvez $1500 x^{3} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$1500 x^{3} = 1$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $1500 x^{3} = 1$ par $1500$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $1500 x^{3} = 1$ par $1500$ .

$\frac{1500 x^{3}}{1500} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1500$ .

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Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1500 x^{3}}{1500} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

$x^{3} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

$x^{3} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

$x^{3} = \frac{1}{1500}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{1500}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{1}{1500}}$ .

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Étape 3.4.2.4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{1500}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1500}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1500}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{1500}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.2.4.3.1

Réécrivez $1500$ comme $5^{3} \cdot 12$ .

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Étape 3.4.2.4.3.1.1

Factorisez $125$ à partir de $1500$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{125 (12)}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.3.1.2

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{5^{3} \cdot 12}}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{5^{3} \cdot 12}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{1}{5 \sqrt[3]{12}}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{1}{5 \sqrt[3]{12}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.4

Multipliez $\frac{1}{5 \sqrt[3]{12}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{5 \sqrt[3]{12}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.2.4.5.1

Multipliez $\frac{1}{5 \sqrt[3]{12}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5.2

Déplacez $\sqrt[3]{12}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 (\sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2})}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5.3

Élevez $\sqrt[3]{12}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 (\sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2})}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{12}}^{1 + 2}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{12}}^{3}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{12}}^{3}$ comme $12$ .

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Étape 3.4.2.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{12}$ comme $12^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 {(12^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12^{\frac{3}{3}}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12^{\frac{3}{3}}}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.4.6.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{12}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{12^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{12^{2}}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.6.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{144}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.6.3

Réécrivez $144$ comme $2^{3} \cdot 18$ .

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Étape 3.4.2.4.6.3.1

Factorisez $8$ à partir de $144$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{8 (18)}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.6.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.6.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{18}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{2 \sqrt[3]{18}}{5 \cdot 12}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.4.7.1

Multipliez $5$ par $12$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{18}}{60}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.7.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $60$ .

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Étape 3.4.2.4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{18}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{18})}{60}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.4.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $60$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{18}}{2 \cdot 30}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{18}}{2 \cdot 30}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.4.2.4.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (1500 x^{3} - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

$x = 0, \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 x^{2}$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = 10 x^{2}$ par $0$ .

$y = 10 {(0)}^{2}$

$x = 0$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $10 {(0)}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 10 \cdot 0$

$x = 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $10$ par $0$ .

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{\sqrt[3]{18}}{30}$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = 10 x^{2}$ par $\frac{\sqrt[3]{18}}{30}$ .

$y = 10 {(\frac{\sqrt[3]{18}}{30})}^{2}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez $10 {(\frac{\sqrt[3]{18}}{30})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{18}}{30}$ .

$y = 10 (\frac{{\sqrt[3]{18}}^{2}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{18}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{18^{2}}$ .

$y = 10 (\frac{\sqrt[3]{18^{2}}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.2.2

Élevez $18$ à la puissance $2$ .

$y = 10 (\frac{\sqrt[3]{324}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.2.3

Réécrivez $324$ comme $3^{3} \cdot 12$ .

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Étape 5.2.1.2.3.1

Factorisez $27$ à partir de $324$ .

$y = 10 (\frac{\sqrt[3]{27 (12)}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.2.3.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$y = 10 (\frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 12}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 (\frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 12}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = 10 (\frac{3 \sqrt[3]{12}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = 10 (\frac{3 \sqrt[3]{12}}{30^{2}})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.1

Élevez $30$ à la puissance $2$ .

$y = 10 (\frac{3 \sqrt[3]{12}}{900})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.2.1

Factorisez $10$ à partir de $900$ .

$y = 10 (\frac{3 \sqrt[3]{12}}{10 (90)})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 10 (\frac{3 \sqrt[3]{12}}{10 \cdot 90})$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3 \sqrt[3]{12}}{90}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{3 \sqrt[3]{12}}{90}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.3.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $90$ .

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Étape 5.2.1.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt[3]{12}$ .

$y = \frac{3 (\sqrt[3]{12})}{90}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $90$ .

$y = \frac{3 \sqrt[3]{12}}{3 \cdot 30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 \sqrt[3]{12}}{3 \cdot 30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 5.2.1.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

$y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(\frac{\sqrt[3]{18}}{30}, \frac{\sqrt[3]{12}}{30})$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(0, 0), (\frac{\sqrt[3]{18}}{30}, \frac{\sqrt[3]{12}}{30})$

Forme de l’équation :

$x = 0, y = 0$

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{30}, y = \frac{\sqrt[3]{12}}{30}$

Étape 8