Ensembles finis Exemples

$2 n^{- 2} + 15 n^{- 1} + 28 = 0$ , $u = n^{- 1}$

Étape 1

Résolvez $n$ dans $2 n^{- 2} + 15 n^{- 1} + 28 = 0$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{n^{2}}) + 15 n^{- 1} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.1.2

Associez $2$ et $\frac{1}{n^{2}}$ .

$\frac{2}{n^{2}} + 15 n^{- 1} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{n^{2}} + 15 (\frac{1}{n}) + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.1.4

Associez $15$ et $\frac{1}{n}$ .

$\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

$\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$n^{2}, n, 1, 1$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.2.2

Since $n^{2}, n, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $n^{2}, n^{1}$ .

Since $n^{2}, n, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $n^{2}, n$ .

$u = n^{- 1}$

Étape 1.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

$1$ Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

$2$ Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

$u = n^{- 1}$

Étape 1.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.2.6

Les facteurs pour $n^{2}$ sont $n \cdot n$ , qui correspond à $n$ multipliés entre eux $2$ fois.

$n^{2} = n \cdot n$

n occurs $2$ times.

$u = n^{- 1}$

Étape 1.2.7

Le facteur pour $n^{1}$ est $n$ lui-même.

$n = n$

n occurs $1$ time.

$u = n^{- 1}$

Étape 1.2.8

Le plus petit multiple commun de $n^{2}, n^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$n \cdot n$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.2.9

Multipliez $n$ par $n$ .

$n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$ par $n^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$ par $n^{2}$ .

$\frac{2}{n^{2}} \cdot n^{2} + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $n^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{n^{2}} \cdot n^{2} + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 1.3.2.1.2.1

Factorisez $n$ à partir de $n^{2}$ .

$2 + \frac{15}{n} \cdot (n \cdot n) + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 + \frac{15}{n} \cdot (n \cdot n) + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $0$ par $n^{2}$ .

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.4.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$28 n^{2} + 15 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 28 \cdot 2 = 56$ et dont la somme est $b = 15$ .

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Étape 1.4.1.2.1

Factorisez $15$ à partir de $15 n$ .

$28 n^{2} + 15 (n) + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.1.2.2

Réécrivez $15$ comme $7$ plus $8$

$28 n^{2} + (7 + 8) n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$28 n^{2} + 7 n + 8 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

$28 n^{2} + 7 n + 8 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.4.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(28 n^{2} + 7 n) + 8 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$7 n (4 n + 1) + 2 (4 n + 1) = 0$

$u = n^{- 1}$

$7 n (4 n + 1) + 2 (4 n + 1) = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 n + 1$ .

$(4 n + 1) (7 n + 2) = 0$

$u = n^{- 1}$

$(4 n + 1) (7 n + 2) = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$7 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.3

Définissez $4 n + 1$ égal à $0$ et résolvez $n$ .

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Étape 1.4.3.1

Définissez $4 n + 1$ égal à $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.3.2

Résolvez $4 n + 1 = 0$ pour $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 n = - 1$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 n = - 1$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 n = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.3.2.2.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.4

Définissez $7 n + 2$ égal à $0$ et résolvez $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.4.1

Définissez $7 n + 2$ égal à $0$ .

$7 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.4.2

Résolvez $7 n + 2 = 0$ pour $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$7 n = - 2$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $7 n = - 2$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 1.4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 n = - 2$ par $7$ .

$\frac{7 n}{7} = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 1.4.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 n}{7} = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.4.2.2.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Étape 1.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 n + 1) (7 n + 2) = 0$ vraie.

$n = - \frac{1}{4}, - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}, - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}, - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $n$ par $- \frac{1}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $n$ dans $u = n^{- 1}$ par $- \frac{1}{4}$ .

$u = {(- \frac{1}{4})}^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$u = - 4$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = - 4$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = - 4$

$n = - \frac{1}{4}$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $n$ par $- \frac{2}{7}$ dans chaque équation.

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Étape 3.1

Remplacez toutes les occurrences de $n$ dans $u = n^{- 1}$ par $- \frac{2}{7}$ .

$u = {(- \frac{2}{7})}^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$u = - \frac{7}{2}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = - \frac{7}{2}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = - \frac{7}{2}$

$n = - \frac{2}{7}$

Étape 4

Indiquez toutes les solutions.

$u = - 4, n = - \frac{1}{4}$

$u = - \frac{7}{2}, n = - \frac{2}{7}$