Ensembles finis Exemples

$2 x + 9 y - 5 z = 0$ , $7 x - y + 6 z = 1$ , $9 x + 8 y + z = 1$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’équation.

$8 y + z = 1 - 9 x$

$2 x + 9 y - 5 z = 0$

$7 x - y + 6 z = 1$

Étape 1.2

Soustrayez $8 y$ des deux côtés de l’équation.

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$2 x + 9 y - 5 z = 0$

$7 x - y + 6 z = 1$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$2 x + 9 y - 5 z = 0$

$7 x - y + 6 z = 1$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $1 - 9 x - 8 y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $2 x + 9 y - 5 z = 0$ par $1 - 9 x - 8 y$ .

$2 x + 9 y - 5 (1 - 9 x - 8 y) = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez $2 x + 9 y - 5 (1 - 9 x - 8 y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 9 y - 5 \cdot 1 - 5 (- 9 x) - 5 (- 8 y) = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$2 x + 9 y - 5 - 5 (- 9 x) - 5 (- 8 y) = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Étape 2.2.1.1.2.2

Multipliez $- 9$ par $- 5$ .

$2 x + 9 y - 5 + 45 x - 5 (- 8 y) = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Étape 2.2.1.1.2.3

Multipliez $- 8$ par $- 5$ .

$2 x + 9 y - 5 + 45 x + 40 y = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

$2 x + 9 y - 5 + 45 x + 40 y = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

$2 x + 9 y - 5 + 45 x + 40 y = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $2 x$ et $45 x$ .

$47 x + 9 y - 5 + 40 y = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $9 y$ et $40 y$ .

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 z = 1$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $7 x - y + 6 z = 1$ par $1 - 9 x - 8 y$ .

$7 x - y + 6 (1 - 9 x - 8 y) = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez $7 x - y + 6 (1 - 9 x - 8 y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x - y + 6 \cdot 1 + 6 (- 9 x) + 6 (- 8 y) = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 2.4.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1.2.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$7 x - y + 6 + 6 (- 9 x) + 6 (- 8 y) = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 2.4.1.1.2.2

Multipliez $- 9$ par $6$ .

$7 x - y + 6 - 54 x + 6 (- 8 y) = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 2.4.1.1.2.3

Multipliez $- 8$ par $6$ .

$7 x - y + 6 - 54 x - 48 y = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 - 54 x - 48 y = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$7 x - y + 6 - 54 x - 48 y = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 2.4.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.2.1

Soustrayez $54 x$ de $7 x$ .

$- 47 x - y + 6 - 48 y = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 2.4.1.2.2

Soustrayez $48 y$ de $- y$ .

$- 47 x - 49 y + 6 = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 47 x - 49 y + 6 = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 47 x - 49 y + 6 = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 47 x - 49 y + 6 = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 47 x - 49 y + 6 = 1$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 3

Résolvez $x$ dans $- 47 x - 49 y + 6 = 1$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Ajoutez $49 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 47 x + 6 = 1 + 49 y$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 3.1.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- 47 x = 1 + 49 y - 6$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 3.1.3

Soustrayez $6$ de $1$ .

$- 47 x = 49 y - 5$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 47 x = 49 y - 5$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- 47 x = 49 y - 5$ par $- 47$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 47 x = 49 y - 5$ par $- 47$ .

$\frac{- 47 x}{- 47} = \frac{49 y}{- 47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 47$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 47 x}{- 47} = \frac{49 y}{- 47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{49 y}{- 47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = \frac{49 y}{- 47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = \frac{49 y}{- 47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{- 5}{- 47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 3.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$47 x + 49 y - 5 = 0$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $47 x + 49 y - 5 = 0$ par $- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$ .

$47 (- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez $47 (- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}) + 49 y - 5$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$47 (- \frac{49 y}{47}) + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $47$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{49 y}{47}$ dans le numérateur.

$47 (\frac{- 49 y}{47}) + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$47 (\frac{- 49 y}{47}) + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 49 y + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 49 y + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $47$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 49 y + 47 (\frac{5}{47}) + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 49 y + 5 + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 49 y + 5 + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$- 49 y + 5 + 49 y - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4.2.1.2

Associez les termes opposés dans $- 49 y + 5 + 49 y - 5$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Additionnez $- 49 y$ et $49 y$ .

$0 + 5 - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $0$ et $5$ .

$5 - 5 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4.2.1.2.3

Soustrayez $5$ de $5$ .

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 - 9 x - 8 y$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $z = 1 - 9 x - 8 y$ par $- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$ .

$z = 1 - 9 (- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Simplifiez $1 - 9 (- \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}) - 8 y$ .

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Étape 4.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$z = 1 - 9 (- \frac{49 y}{47}) - 9 (\frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.1.2

Multipliez $- 9 (- \frac{49 y}{47})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$z = 1 + 9 (\frac{49 y}{47}) - 9 (\frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.1.2.2

Associez $9$ et $\frac{49 y}{47}$ .

$z = 1 + \frac{9 (49 y)}{47} - 9 (\frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.1.2.3

Multipliez $49$ par $9$ .

$z = 1 + \frac{441 y}{47} - 9 (\frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 + \frac{441 y}{47} - 9 (\frac{5}{47}) - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.1.3

Multipliez $- 9 (\frac{5}{47})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1.3.1

Associez $- 9$ et $\frac{5}{47}$ .

$z = 1 + \frac{441 y}{47} + \frac{- 9 \cdot 5}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.1.3.2

Multipliez $- 9$ par $5$ .

$z = 1 + \frac{441 y}{47} + \frac{- 45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 + \frac{441 y}{47} + \frac{- 45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$z = 1 + \frac{441 y}{47} - \frac{45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = 1 + \frac{441 y}{47} - \frac{45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$z = \frac{441 y}{47} + \frac{47}{47} - \frac{45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z = \frac{441 y}{47} + \frac{47 - 45}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.2.3

Soustrayez $45$ de $47$ .

$z = \frac{441 y}{47} + \frac{2}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = \frac{441 y}{47} + \frac{2}{47} - 8 y$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.3

Pour écrire $- 8 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{47}{47}$ .

$z = \frac{441 y}{47} - 8 y \cdot \frac{47}{47} + \frac{2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.4

Associez $- 8 y$ et $\frac{47}{47}$ .

$z = \frac{441 y}{47} + \frac{- 8 y \cdot 47}{47} + \frac{2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z = \frac{441 y - 8 y \cdot 47}{47} + \frac{2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z = \frac{441 y - 8 y \cdot 47 + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.7

Multipliez $47$ par $- 8$ .

$z = \frac{441 y - 376 y + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 4.4.1.8

Soustrayez $376 y$ de $441 y$ .

$z = \frac{65 y + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = \frac{65 y + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = \frac{65 y + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

$z = \frac{65 y + 2}{47}$

$0 = 0$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$

Étape 5

Supprimez du système toutes les équations qui sont toujours vraies.

$z = \frac{65 y + 2}{47}$

$x = - \frac{49 y}{47} + \frac{5}{47}$