Ensembles finis Exemples

$9 x^{4} + 98 x^{2} - 11$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$9 u^{2} + 98 u - 11 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot - 11 = - 99$ et dont la somme est $b = 98$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $98$ à partir de $98 u$ .

$9 u^{2} + 98 (u) - 11 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $98$ comme $- 1$ plus $99$

$9 u^{2} + (- 1 + 99) u - 11 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 u^{2} - 1 u + 99 u - 11 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 u^{2} - 1 u) + 99 u - 11 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (9 u - 1) + 11 (9 u - 1) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u + 11) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u + 11 = 0$

Étape 4

Définissez $9 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $9 u - 1$ égal à $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $9 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$9 u = 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $9 u = 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 u = 1$ par $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Étape 5

Définissez $u + 11$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $u + 11$ égal à $0$ .

$u + 11 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 11$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 u - 1) (u + 11) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{9}, - 11$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

${(x^{2})}^{1} = - 11$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Étape 9.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 9.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 11$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 11$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 11}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 11}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (11)}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (11)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$

Étape 11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{11}$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{11}$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{11}$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Étape 12

La solution à $9 x^{4} + 98 x^{2} - 11 = 0$ est $x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Étape 13