Ensembles finis Exemples

$x^{5} - 25 x^{3} < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{5} - 25 x^{3} = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5} - 25 x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 25 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ .

$x^{3} (x^{2} - 25) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 0, - 5, 5$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 8)}^{5} - 25 {(- 8)}^{3} < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 19968$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{5} - 25 {(- 2)}^{3} < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $168$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{5} - 25 {(2)}^{3} < 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 168$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{5} - 25 {(8)}^{3} < 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $19968$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 0$ Faux

$0 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 0$ Faux

$0 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $0 < x < 5$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

Étape 12