Ensembles finis Exemples

$a^{3} - 25 a < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$a^{3} - 25 a = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{3} - 25 a$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{3}$ .

$a \cdot a^{2} - 25 a = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $a$ à partir de $- 25 a$ .

$a \cdot a^{2} + a \cdot - 25 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot a^{2} + a \cdot - 25$ .

$a (a^{2} - 25) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$a (a^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 2.3

Factorisez.

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Étape 2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 5$ .

$a ((a + 5) (a - 5)) = 0$

Étape 2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$a (a + 5) (a - 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$a = 0$

$a + 5 = 0$

$a - 5 = 0$

Étape 4

Définissez $a$ égal à $0$ .

$a = 0$

Étape 5

Définissez $a + 5$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 5.1

Définissez $a + 5$ égal à $0$ .

$a + 5 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$a = - 5$

Étape 6

Définissez $a - 5$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 6.1

Définissez $a - 5$ égal à $0$ .

$a - 5 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 5$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $a (a + 5) (a - 5) = 0$ vraie.

$a = 0, - 5, 5$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$a < - 5$

$- 5 < a < 0$

$0 < a < 5$

$a > 5$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $a < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $a < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = - 8$

Étape 9.1.2

Remplacez $a$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 8)}^{3} - 25 \cdot - 8 < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 312$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < a < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < a < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = - 2$

Étape 9.2.2

Remplacez $a$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{3} - 25 \cdot - 2 < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $42$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < a < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < a < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 2$

Étape 9.3.2

Remplacez $a$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{3} - 25 \cdot 2 < 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 42$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $a > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $a > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 8$

Étape 9.4.2

Remplacez $a$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{3} - 25 \cdot 8 < 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $312$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$a < - 5$ Vrai

$- 5 < a < 0$ Faux

$0 < a < 5$ Vrai

$a > 5$ Faux

$a < - 5$ Vrai

$- 5 < a < 0$ Faux

$0 < a < 5$ Vrai

$a > 5$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$a < - 5$ ou $0 < a < 5$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

Étape 12