Ensembles finis Exemples

$4 x^{2} - 5 x$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$0$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$4 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 0$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 - 5 \cdot 0$

Étape 4.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 - 5 \cdot 0$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 5

Comme $0$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 0$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{2} - 5 x}{x + 0}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$0$	$4$	$- 5$	$0$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$0$	$4$	$- 5$	$0$

	$4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$0$	$4$	$- 5$	$0$
		$0$
	$4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$4$	$- 5$	$0$
		$0$
	$4$	$- 5$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 5)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$4$	$- 5$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 5$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$4$	$- 5$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 5$	$0$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(4) x - 5$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$4 x - 5$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 5$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 0) (x - \frac{5}{4})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $4 x^{2} - 5 x$ .

$x = 0, \frac{5}{4}$

Étape 10