Ensembles finis Exemples

$3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$0$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$3 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $b = 0$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Étape 4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 5 \cdot 0 + 2 (0)$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0 + 0 + 2 (0)$

Étape 4.1.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 5

Comme $0$ est une racine connue, divisez le polynôme par $b + 0$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b}{b + 0}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

	$3$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$	$- 5$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 5)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(2)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 b^{2} + - 5 b + 2$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 b^{2} - 5 b + 2$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 b$ .

$(b + 0) + 3 b^{2} - 5 b + 2$

Étape 7.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 2$ plus $- 3$

$(b + 0) + 3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(b + 0) + 3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(b + 0) (3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(b + 0) + b (3 b - 2) - (3 b - 2)$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 b - 2$ .

$(b + 0) + (3 b - 2) (b - 1)$

$(b + 0) (3 b - 2) (b - 1)$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $b$ à partir de $3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $b$ à partir de $3 b^{3}$ .

$b (3 b^{2}) - 5 b^{2} + 2 b = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez $b$ à partir de $- 5 b^{2}$ .

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + 2 b = 0$

Étape 8.1.3

Factorisez $b$ à partir de $2 b$ .

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + b \cdot 2 = 0$

Étape 8.1.4

Factorisez $b$ à partir de $b (3 b^{2}) + b (- 5 b)$ .

$b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2 = 0$

Étape 8.1.5

Factorisez $b$ à partir de $b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2$ .

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

Étape 8.2

Factorisez.

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Étape 8.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 b$ .

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 2$ plus $- 3$

$b (3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2) = 0$

Étape 8.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$b (3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2) = 0$

Étape 8.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$b ((3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2) = 0$

Étape 8.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$b (b (3 b - 2) - (3 b - 2)) = 0$

Étape 8.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 b - 2$ .

$b ((3 b - 2) (b - 1)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$b (3 b - 2) (b - 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$b = 0$

$3 b - 2 = 0$

$b - 1 = 0$

Étape 10

Définissez $b$ égal à $0$ .

$b = 0$

Étape 11

Définissez $3 b - 2$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 11.1

Définissez $3 b - 2$ égal à $0$ .

$3 b - 2 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $3 b - 2 = 0$ pour $b$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 b = 2$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $3 b = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 b = 2$ par $3$ .

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{2}{3}$

Étape 12

Définissez $b - 1$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 12.1

Définissez $b - 1$ égal à $0$ .

$b - 1 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$b = 1$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $b (3 b - 2) (b - 1) = 0$ vraie.

$b = 0, \frac{2}{3}, 1$

Étape 14