Ensembles finis Exemples

$2 x^{10} - 6 x^{9} + 10 x^{9} - 126 x^{8}$

Étape 1

Additionnez $- 6 x^{9}$ et $10 x^{9}$ .

$y = 2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$

Étape 2

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 3

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$0$

Étape 4

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(0)}^{10} + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Étape 5

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 0$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Étape 5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Étape 5.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 - 126 {(0)}^{8}$

Étape 5.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + 0 - 126 {(0)}^{8}$

Étape 5.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - 126 \cdot 0$

Étape 5.1.6

Multipliez $- 126$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 6

Comme $0$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 0$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}}{x + 0}$

Étape 7

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 7.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

	$2$

Étape 7.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$

Étape 7.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$	$4$

Étape 7.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 126)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$

Étape 7.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

Étape 7.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 126)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

Étape 7.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

Étape 7.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

Étape 7.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

Étape 7.11

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

Étape 7.12

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.13

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.14

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.15

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.16

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.17

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.18

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.19

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.20

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.21

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.22

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Étape 7.23

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7} + 0 x^{6} + 0 x^{5} + 0 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x + 0$

Étape 7.24

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$

Étape 8

Factorisez $2 x^{7}$ à partir de $2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2 x^{7}$ à partir de $2 x^{9}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 4 x^{8} - 126 x^{7})$

Étape 8.2

Factorisez $2 x^{7}$ à partir de $4 x^{8}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) - 126 x^{7})$

Étape 8.3

Factorisez $2 x^{7}$ à partir de $- 126 x^{7}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

Étape 8.4

Factorisez $2 x^{7}$ à partir de $2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x)$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

Étape 8.5

Factorisez $2 x^{7}$ à partir de $2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63)$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x - 63))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 63$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 63$ et dont la somme est $2$ .

$- 7, 9$

Étape 9.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 0) (2 x^{7} ((x - 7) (x + 9)))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 0) (2 x^{7} (x - 7) (x + 9))$

Étape 10

Additionnez $- 6 x^{9}$ et $10 x^{9}$ .

$2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

Étape 11

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 11.1

Factorisez $2 x^{8}$ à partir de $2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $2 x^{8}$ à partir de $2 x^{10}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

Étape 11.1.2

Factorisez $2 x^{8}$ à partir de $4 x^{9}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) - 126 x^{8} = 0$

Étape 11.1.3

Factorisez $2 x^{8}$ à partir de $- 126 x^{8}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

Étape 11.1.4

Factorisez $2 x^{8}$ à partir de $2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x)$ .

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

Étape 11.1.5

Factorisez $2 x^{8}$ à partir de $2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63)$ .

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x - 63) = 0$

Étape 11.2

Factorisez.

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Étape 11.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 63$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 11.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 63$ et dont la somme est $2$ .

$- 7, 9$

Étape 11.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 x^{8} ((x - 7) (x + 9)) = 0$

Étape 11.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$

Étape 12

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{8} = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 9 = 0$

Étape 13

Définissez $x^{8}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x^{8}$ égal à $0$ .

$x^{8} = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x^{8} = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

Étape 13.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[8]{0}$ .

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Étape 13.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{8}$ .

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

Étape 13.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 13.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 14

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 15

Définissez $x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 15.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 16

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$ vraie.

$x = 0, 7, - 9$

Étape 17