Ensembles finis Exemples

$x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$0$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(0)}^{6} - {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 0$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 0 - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 4.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - 5 \cdot 0 + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 4.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 5 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 4.1.7

Multipliez $5$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Étape 4.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 36 (0)$

Étape 4.1.9

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 36 (0)$

Étape 4.1.10

Multipliez $36$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0$

Étape 4.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 5

Comme $0$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 0$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x}{x + 0}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$
	$1$	$- 1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 5)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(5)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 36)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$

Étape 6.11

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 36)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(36)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$

Étape 6.12

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$

Étape 6.13

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(36)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$

Étape 6.14

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

Étape 6.15

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{5} + - 1 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + (- 36) x + 36$

Étape 6.16

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} - 36 x + 36$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Regroupez les termes.

$x^{5} - 5 x^{3} - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - 5 x^{3} - 36 x$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 5 x^{3} - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 36 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ .

$x (x^{4} - 5 x^{2} - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} - 5 u - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.5

Factorisez $u^{2} - 5 u - 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 36$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 9, 4$

Étape 7.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((u - 9) (u + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.7

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.8

Factorisez.

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Étape 7.1.8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.9

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Étape 7.1.10

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + 5 u + 36 = 0$

Étape 7.1.11

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.11.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 7.1.11.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + 5 (u) + 36 = 0$

Étape 7.1.11.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 4$ plus $9$

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + (- 4 + 9) u + 36 = 0$

Étape 7.1.11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 4 u + 9 u + 36 = 0$

Étape 7.1.11.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.11.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 4 u + 9 u + 36 = 0$

Étape 7.1.11.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + u (- u - 4) - 9 (- u - 4) = 0$

Étape 7.1.11.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 4$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- u - 4) (u - 9) = 0$

Étape 7.1.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 7.1.13

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 7.1.14

Factorisez.

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Étape 7.1.14.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 7.1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 7.1.15

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3)$ .

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Étape 7.1.15.1

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 7.1.15.2

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 4) = 0$

Étape 7.1.15.3

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 4)$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4) - x^{2} - 4) = 0$

Étape 7.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 3) (x - 3) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Étape 7.1.17

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.17.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 7.1.17.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Étape 7.1.17.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 3) (x - 3) (x^{1 + 2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Étape 7.1.17.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Étape 7.1.18

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} + 4 x - x^{2} - 4) = 0$

Étape 7.1.19

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} - x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Étape 7.1.20

Factorisez.

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Étape 7.1.20.1

Réécrivez $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ en forme factorisée.

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Étape 7.1.20.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.20.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{3} - x^{2}) + 4 x - 4) = 0$

Étape 7.1.20.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} (x - 1) + 4 (x - 1)) = 0$

Étape 7.1.20.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x^{2} + 4)) = 0$

Étape 7.1.20.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 7.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 7.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 7.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7.6

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.6.1

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 7.6.2

Résolvez $x^{2} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.6.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 7.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 7.6.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 7.6.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 7.6.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 7.6.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 7.6.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 7.6.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 7.6.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 7.6.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.6.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 7.6.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 7.6.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 7.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3, 1, 2 i, - 2 i$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 0) (x + 3) (x - 3) (x - 1) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x$ .

$x = 0, - 3, 3, 1, 2 i, - 2 i$

Étape 10