Ensembles finis Exemples

$5 x^{2} - 3 x - 2$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 5$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$5 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 2$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 2$

Étape 4.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 - 3 \cdot 1 - 2$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$5 - 3 - 2$

Étape 4.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ de $5$ .

$2 - 2$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{5 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(5)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$

	$5$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$
		$5$
	$5$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$
		$5$
	$5$	$2$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 2)$ .

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$
		$5$	$2$
	$5$	$2$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$5$	$- 3$	$- 2$
		$5$	$2$
	$5$	$2$	$0$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(5) x + 2$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$5 x + 2$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 2$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 2$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 2$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{5}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 1) (x + \frac{2}{5})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $5 x^{2} - 3 x - 2$ .

$x = 1, - \frac{2}{5}$

Étape 10