Ensembles finis Exemples

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$4 {(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Étape 4.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 - 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1 + 16$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$4 - 4 - 16 \cdot 1 + 16$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$4 - 4 - 16 + 16$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0 - 16 + 16$

Étape 4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$- 16 + 16$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

	$4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$	$- 16$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 16)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 16)$ sous le terme suivant dans le dividende $(16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$4 x^{2} + 0 x - 16$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$4 x^{2} - 16$

Étape 7

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 16$ .

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Étape 7.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2}) - 16)$

Étape 7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$(x - 1) (4 x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Étape 7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 4))$

Étape 8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 2^{2}))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 1) (4 ((x + 2) (x - 2)))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (4 (x + 2) (x - 2))$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Étape 10.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) - 16 x + 16 = 0$

Étape 10.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16 = 0$

Étape 10.1.4

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Étape 10.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3}) + 4 (- x^{2})$ .

$4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Étape 10.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4) = 0$

Étape 10.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Étape 10.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$4 ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4) = 0$

Étape 10.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)) = 0$

Étape 10.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Étape 10.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Étape 10.5

Factorisez.

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Étape 10.5.1

Factorisez.

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Étape 10.5.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 ((x - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Étape 10.5.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 ((x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 10.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 12

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 13

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 14

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 1, - 2, 2$

Étape 16