Ensembles finis Exemples

$4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$0$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$4 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 0$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Étape 4.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Étape 4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 48 (0)$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 0 + 48 (0)$

Étape 4.1.5

Multipliez $48$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 5

Comme $0$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 0$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x}{x + 0}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

	$4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 2)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$	$- 2$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 2)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(48)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(48)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$4 x^{2} + - 2 x + 48$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$4 x^{2} - 2 x + 48$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} - 2 x + 48$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) - 2 x + 48)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 48)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (24))$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x) + 2 (24))$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2} - x) + 2 (24)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x + 24))$

Étape 8

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 2 x^{2} + 48 x = 0$

Étape 8.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 48 x = 0$

Étape 8.3

Factorisez $2 x$ à partir de $48 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 2 x (24) = 0$

Étape 8.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24) = 0$

Étape 8.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24)$ .

$2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Étape 10

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 11

Définissez $2 x^{2} - x + 24$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $2 x^{2} - x + 24$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 x^{2} - x + 24 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 1$ et $c = 24$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 24)}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3

Simplifiez

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Étape 11.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Étape 11.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.1.3

Soustrayez $192$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.1.4

Réécrivez $- 191$ comme $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (191)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Étape 11.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 11.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Étape 11.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.1.3

Soustrayez $192$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.1.4

Réécrivez $- 191$ comme $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (191)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Étape 11.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 11.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

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Étape 11.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.1.3

Soustrayez $192$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.1.4

Réécrivez $- 191$ comme $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (191)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Étape 11.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Étape 13