Ensembles finis Exemples

$10 x - 25 - x^{2} < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$10 x - 25 - x^{2} = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $10 x - 25 - x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 2.1.1.1

Déplacez $- 25$ .

$10 x - x^{2} - 25 = 0$

Étape 2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $10 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 10 x - 25 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 10 x - 25 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $10 x$ .

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 25 = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $- 25$ comme $- 1 (25)$ .

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 10 x)$ .

$- (x^{2} - 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 10 x) - 1 (25)$ .

$- (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $- {(x - 5)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- {(x - 5)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 3.2.2

Divisez ${(x - 5)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 5

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 5$

$x > 5$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$10 (0) - 25 - {(0)}^{2} < 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $- 25$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$10 (8) - 25 - {(8)}^{2} < 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $- 9$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 5$ Vrai

$x > 5$ Vrai

$x < 5$ Vrai

$x > 5$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 5$ ou $x > 5$

Étape 9

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 10