Ensembles finis Exemples

$- 3 x^{2} < - 9 x + 6$

Étape 1

Ajoutez $9 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 3 x^{2} + 9 x < 6$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 3 x^{2} + 9 x = 6$

Étape 3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} + 9 x - 6 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2} + 9 x - 6$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 9 x - 6 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $9 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 3 x) - 6 = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 6$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 3 x) - 3 \cdot 2 = 0$

Étape 4.1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2}) - 3 (- 3 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 3 x) - 3 \cdot 2 = 0$

Étape 4.1.5

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2} - 3 x) - 3 (2)$ .

$- 3 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Étape 4.2

Factorisez.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 (x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, 1$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 3 {(0)}^{2} < - 9 \cdot 0 + 6$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.5$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$- 3 {(1.5)}^{2} < - 9 \cdot 1.5 + 6$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 6.75$ n’est pas inférieur au côté droit $- 7.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$- 3 {(4)}^{2} < - 9 \cdot 4 + 6$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 48$ est inférieur au côté droit $- 30$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1$ Vrai

$1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < 1$ Vrai

$1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 1$ ou $x > 2$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 1) \cup (2, \infty)$

Étape 13