Ensembles finis Exemples

${(x + 7)}^{2} > 50 x - 27$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $50 x$ des deux côtés de l’inégalité.

${(x + 7)}^{2} - 50 x > - 27$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Réécrivez ${(x + 7)}^{2}$ comme $(x + 7) (x + 7)$ .

$(x + 7) (x + 7) - 50 x > - 27$

Étape 1.2.2

Développez $(x + 7) (x + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 7) + 7 (x + 7) - 50 x > - 27$

Étape 1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7) - 50 x > - 27$

Étape 1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Étape 1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Étape 1.2.3.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $7$ par $7$ .

$x^{2} + 7 x + 7 x + 49 - 50 x > - 27$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $7 x$ et $7 x$ .

$x^{2} + 14 x + 49 - 50 x > - 27$

Étape 1.3

Soustrayez $50 x$ de $14 x$ .

$x^{2} - 36 x + 49 > - 27$

Étape 2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 36 x + 49 + 27 > 0$

Étape 2.2

Additionnez $49$ et $27$ .

$x^{2} - 36 x + 76 > 0$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 36 x + 76 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 36$ et $c = 76$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 76)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $304$ de $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $992$ comme $4^{2} \cdot 62$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $304$ de $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $992$ comme $4^{2} \cdot 62$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 18 + 2 \sqrt{62}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $304$ de $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $992$ comme $4^{2} \cdot 62$ .

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 18 - 2 \sqrt{62}$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 18 + 2 \sqrt{62}, 18 - 2 \sqrt{62}$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 18 - 2 \sqrt{62}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 18 - 2 \sqrt{62}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${((0) + 7)}^{2} > 50 (0) - 27$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $49$ est supérieur au côté droit $- 27$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

${((5) + 7)}^{2} > 50 (5) - 27$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $144$ n’est pas supérieur au côté droit $223$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 18 + 2 \sqrt{62}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 18 + 2 \sqrt{62}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 36$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $36$ dans l’inégalité d’origine.

${((36) + 7)}^{2} > 50 (36) - 27$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $1849$ est supérieur au côté droit $1773$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ Vrai

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ Faux

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$ Vrai

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ Vrai

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ Faux

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ ou $x > 18 + 2 \sqrt{62}$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 18 - 2 \sqrt{62}) \cup (18 + 2 \sqrt{62}, \infty)$

Étape 14