Ensembles finis Exemples

$2 x^{2} + 9 x - 11 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 9 x - 11 = 0$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 11 = - 22$ et dont la somme est $b = 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$2 x^{2} + 9 (x) - 11 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $9$ comme $- 2$ plus $11$

$2 x^{2} + (- 2 + 11) x - 11 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x + 11 x - 11 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 2 x) + 11 x - 11 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (x - 1) + 11 (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x + 11) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x + 11 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Définissez $2 x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $2 x + 11$ égal à $0$ .

$2 x + 11 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 x + 11 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 11$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 11$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 11$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{11}{2}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (2 x + 11) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{11}{2}$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{11}{2}$

$- \frac{11}{2} < x < 1$

$x > 1$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{11}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{11}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 8)}^{2} + 9 (- 8) - 11 < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $45$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{11}{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{11}{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} + 9 (0) - 11 < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 11$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(4)}^{2} + 9 (4) - 11 < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $57$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{11}{2}$ Faux

$- \frac{11}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - \frac{11}{2}$ Faux

$- \frac{11}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{11}{2} < x < 1$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \frac{11}{2}, 1)$

Étape 11