Ensembles finis Exemples

$8 r^{3} - 64 r^{2} + r - 8$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (r) = 8 r^{3} - 64 r^{2} + r - 8$

Étape 2

Comme il y a $3$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $3$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(3 - 2)$ .

Racines positives : $3$ ou $1$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $r$ par $- r$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- r) = 8 {(- r)}^{3} - 64 {(- r)}^{2} - r - 8$

Étape 4

Simplifiez le polynôme.

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- r) = 8 {(- r)}^{3} - 64 {(- r)}^{2} - r - 8$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $- r$ .

$f (- r) = 8 ({(- 1)}^{3} r^{3}) - 64 {(- r)}^{2} - r - 8$

Étape 4.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- r) = 8 (- r^{3}) - 64 {(- r)}^{2} - r - 8$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (- r) = - 8 r^{3} - 64 {(- r)}^{2} - r - 8$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de produit à $- r$ .

$f (- r) = - 8 r^{3} - 64 ({(- 1)}^{2} r^{2}) - r - 8$

Étape 4.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- r) = - 8 r^{3} - 64 (1 r^{2}) - r - 8$

Étape 4.2.6

Multipliez $r^{2}$ par $1$ .

$f (- r) = - 8 r^{3} - 64 r^{2} - r - 8$

Étape 5

Comme il y a $0$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $0$ racines négatives (règle des signes de Descartes).

Racines négatives : $0$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est $3$ ou $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $0$ .

Racines positives : $3$ ou $1$

Racines négatives : $0$