Ensembles finis Exemples

$49 x^{7} - 448 x^{6} - 656 x^{5} + 2754 x^{4} - 158537 x^{3} + 126934 x^{2} + 410424 x - 249280$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = 49 x^{7} - 448 x^{6} - 656 x^{5} + 2754 x^{4} - 158537 x^{3} + 126934 x^{2} + 410424 x - 249280$

Étape 2

Comme il y a $5$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $5$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(5 - 2)$ .

Racines positives : $5$ , $3$ , or $1$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = 49 {(- x)}^{7} - 448 {(- x)}^{6} - 656 {(- x)}^{5} + 2754 {(- x)}^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 49 ({(- 1)}^{7} x^{7}) - 448 {(- x)}^{6} - 656 {(- x)}^{5} + 2754 {(- x)}^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$f (- x) = 49 (- x^{7}) - 448 {(- x)}^{6} - 656 {(- x)}^{5} + 2754 {(- x)}^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 {(- x)}^{6} - 656 {(- x)}^{5} + 2754 {(- x)}^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 ({(- 1)}^{6} x^{6}) - 656 {(- x)}^{5} + 2754 {(- x)}^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 (1 x^{6}) - 656 {(- x)}^{5} + 2754 {(- x)}^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.6

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} - 656 {(- x)}^{5} + 2754 {(- x)}^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} - 656 ({(- 1)}^{5} x^{5}) + 2754 {(- x)}^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} - 656 (- x^{5}) + 2754 {(- x)}^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.9

Multipliez $- 1$ par $- 656$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 {(- x)}^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.11

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 (1 x^{4}) - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.12

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 x^{4} - 158537 {(- x)}^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.13

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 x^{4} - 158537 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 x^{4} - 158537 (- x^{3}) + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.15

Multipliez $- 1$ par $- 158537$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 x^{4} + 158537 x^{3} + 126934 {(- x)}^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 x^{4} + 158537 x^{3} + 126934 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.17

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 x^{4} + 158537 x^{3} + 126934 (1 x^{2}) + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.18

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 x^{4} + 158537 x^{3} + 126934 x^{2} + 410424 (- x) - 249280$

Étape 4.19

Multipliez $- 1$ par $410424$ .

$f (- x) = - 49 x^{7} - 448 x^{6} + 656 x^{5} + 2754 x^{4} + 158537 x^{3} + 126934 x^{2} - 410424 x - 249280$

Étape 5

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $2 - 2$ ).

Racines négatives : $2$ ou $0$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est $5$ , $3$ , or $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $2$ ou $0$ .

Racines positives : $5$ , $3$ , or $1$

Racines négatives : $2$ ou $0$