Ensembles finis Exemples

$x^{3} - 14 x - 8 = 0$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(4)}^{3} - 14 \cdot 4 - 8$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 4$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 - 14 \cdot 4 - 8$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 14$ par $4$ .

$64 - 56 - 8$

Étape 4.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $56$ de $64$ .

$8 - 8$

Étape 4.2.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 14 x - 8}{x - 4}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$
	$1$	$4$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(16)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 14)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$
	$1$	$4$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$
	$1$	$4$	$2$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$	$8$
	$1$	$4$	$2$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$	$8$
	$1$	$4$	$2$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 4 x + 2$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + 4 x + 2$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 7.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 7.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{2}$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 7.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 7.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{2}$

Étape 7.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 4) (x + 2 - \sqrt{2}) (x + 2 + \sqrt{2})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{3} - 14 x - 8$ .

$x = 4, - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 4, - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Forme décimale :

$x = 4, - 0.58578643 \dots, - 3.41421356 \dots$

Étape 11