Ensembles finis Exemples

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{1}{2}$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Étape 4.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

Étape 4.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

Étape 4.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

Étape 4.1.8

Associez $15$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

Étape 4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Additionnez $1$ et $15$ .

$- 4 + \frac{16}{4}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $16$ par $4$ .

$- 4 + 4$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{1}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(15)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(16)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(8)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $16 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Étape 7.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

Étape 8

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

Étape 9

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

Étape 10

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 11

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ et dont la somme est $b = 15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Factorisez $15$ à partir de $15 u$ .

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

Étape 11.1.2

Réécrivez $15$ comme $- 1$ plus $16$

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

Étape 11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

Étape 11.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

Étape 11.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

Étape 11.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

Étape 12

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Étape 13

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $4 u - 1 = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 u = 1$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Étape 14

Définissez $u + 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Définissez $u + 4$ égal à $0$ .

$u + 4 = 0$

Étape 14.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 4$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 u - 1) (u + 4) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{4}, - 4$

Étape 16

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Étape 17

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 18

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 18.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 18.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 18.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 18.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Étape 18.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 18.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 18.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 19

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Étape 20

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 4$

Étape 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 20.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 20.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 20.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 20.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 20.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 20.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 20.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 20.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 20.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 21

La solution à $4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ est $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

Étape 22