Ensembles finis Exemples

$4 r^{2} + 20 r + 25$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$4 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $r = - \frac{5}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Étape 4.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Étape 4.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Étape 4.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Étape 4.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Étape 4.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$25 + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Étape 4.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$25 + 20 (\frac{- 5}{2}) + 25$

Étape 4.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$25 + 2 (10) \frac{- 5}{2} + 25$

Étape 4.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$25 + 2 \cdot 10 \frac{- 5}{2} + 25$

Étape 4.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$25 + 10 \cdot - 5 + 25$

Étape 4.1.8

Multipliez $10$ par $- 5$ .

$25 - 50 + 25$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $50$ de $25$ .

$- 25 + 25$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 25$ et $25$ .

$0$

Étape 5

Comme $- \frac{5}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $r + \frac{5}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 r^{2} + 20 r + 25}{r + \frac{5}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

	$4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(- \frac{5}{2})$ et placez le résultat de $(- 10)$ sous le terme suivant dans le dividende $(20)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$	$10$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(10)$ par le diviseur $(- \frac{5}{2})$ et placez le résultat de $(- 25)$ sous le terme suivant dans le dividende $(25)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$	$0$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(4) r + 10$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$4 r + 10$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $4 r + 10$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 r$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 10)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 2 (5))$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 r) + 2 (5)$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r + 5))$

Étape 8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 8.1

Réécrivez $4 r^{2}$ comme ${(2 r)}^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 25 = 0$

Étape 8.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 5^{2} = 0$

Étape 8.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$20 r = 2 \cdot (2 r) \cdot 5$

Étape 8.4

Réécrivez le polynôme.

${(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Étape 8.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 r$ et $b = 5$ .

${(2 r + 5)}^{2} = 0$

Étape 9

Définissez le $2 r + 5$ égal à $0$ .

$2 r + 5 = 0$

Étape 10

Résolvez $r$ .

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Étape 10.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 r = - 5$

Étape 10.2

Divisez chaque terme dans $2 r = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Divisez chaque terme dans $2 r = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{- 5}{2}$

Étape 10.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{5}{2}$

Étape 11