Ensembles finis Exemples

$2 x^{4} - x^{3} - 73 x^{2} + 36 x + 36$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 - 1 \cdot 1 - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1 - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Étape 4.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 - 1 - 73 \cdot 1 + 36 (1) + 36$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 73$ par $1$ .

$2 - 1 - 73 + 36 (1) + 36$

Étape 4.1.7

Multipliez $36$ par $1$ .

$2 - 1 - 73 + 36 + 36$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 - 73 + 36 + 36$

Étape 4.2.2

Soustrayez $73$ de $1$ .

$- 72 + 36 + 36$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 72$ et $36$ .

$- 36 + 36$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 36$ et $36$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 73 x^{2} + 36 x + 36}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$
	$2$	$1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 73)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$- 72$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 72)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 72)$ sous le terme suivant dans le dividende $(36)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$
	$2$	$1$	$- 72$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 36)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 36)$ sous le terme suivant dans le dividende $(36)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$	$- 36$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$	$- 36$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (- 72) x - 36$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{3} + x^{2} - 72 x - 36$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) - 72 x - 36$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) - 36 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) - 36 (2 x + 1)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 36)$

Étape 9

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 6^{2})$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) ((x + 6) (x - 6))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 6) (x - 6)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 6) (x - 6)$

Étape 11

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 11.1

Regroupez les termes.

$- x^{3} + 36 x + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Étape 11.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3} + 36 x$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 36 x + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Étape 11.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $36 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 36 + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Étape 11.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{2}) - x (- 36)$ .

$- x (x^{2} - 36) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Étape 11.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- x (x^{2} - 6^{2}) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Étape 11.4

Factorisez.

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Étape 11.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$- x ((x + 6) (x - 6)) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Étape 11.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Étape 11.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 {(x^{2})}^{2} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Étape 11.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 73 u + 36 = 0$

Étape 11.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 11.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 36 = 72$ et dont la somme est $b = - 73$ .

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Étape 11.7.1.1

Factorisez $- 73$ à partir de $- 73 u$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 73 u + 36 = 0$

Étape 11.7.1.2

Réécrivez $- 73$ comme $- 1$ plus $- 72$

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} + (- 1 - 72) u + 36 = 0$

Étape 11.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 1 u - 72 u + 36 = 0$

Étape 11.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 11.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 1 u - 72 u + 36 = 0$

Étape 11.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- x (x + 6) (x - 6) + u (2 u - 1) - 36 (2 u - 1) = 0$

Étape 11.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 u - 1) (u - 36) = 0$

Étape 11.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 36) = 0$

Étape 11.9

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Étape 11.10

Factorisez.

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Étape 11.10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Étape 11.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6) = 0$

Étape 11.11

Factorisez $(x + 6) (x - 6)$ à partir de $- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6)$ .

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Étape 11.11.1

Factorisez $(x + 6) (x - 6)$ à partir de $- x (x + 6) (x - 6)$ .

$(x + 6) (x - 6) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6) = 0$

Étape 11.11.2

Factorisez $(x + 6) (x - 6)$ à partir de $(2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6)$ .

$(x + 6) (x - 6) (- x) + (x + 6) (x - 6) (2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 11.11.3

Factorisez $(x + 6) (x - 6)$ à partir de $(x + 6) (x - 6) (- x) + (x + 6) (x - 6) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x + 6) (x - 6) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 11.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 6) (x - 6) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Étape 11.13

Factorisez par regroupement.

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Étape 11.13.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Étape 11.13.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 11.13.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Étape 11.13.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Étape 11.13.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Étape 11.13.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Étape 11.13.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 11.13.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 6) (x - 6) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Étape 11.13.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 6) (x - 6) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Étape 11.13.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$(x + 6) (x - 6) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Étape 11.14

Factorisez.

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Étape 11.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 6) (x - 6) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 11.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 6) (x - 6) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 12

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 13

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 14

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 15

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 15.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 15.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 15.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 15.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 15.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 15.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 15.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 15.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 15.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 16

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 16.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 16.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 17

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 6) (x - 6) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 6, 6, - \frac{1}{2}, 1$

Étape 18