Ensembles finis Exemples

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 10$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{1}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{2^{3}} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 (\frac{1}{8}) - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 \frac{1}{2 (4)} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 \cdot 4} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - 7 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} - 7 \frac{1}{2^{2}} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} - 7 (\frac{1}{4}) - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.8

Associez $- 7$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 7}{4} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} - \frac{7}{4} - 17 (\frac{1}{2}) + 10$

Étape 4.1.10

Associez $- 17$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{7}{4} + \frac{- 17}{2} + 10$

Étape 4.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} - \frac{7}{4} - \frac{17}{2} + 10$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$10 + \frac{1 - 7}{4} + \frac{- 17}{2}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $7$ de $1$ .

$10 + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17}{2}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $10$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{10}{1} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{10}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{10}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17}{2}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{10}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17}{2}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{- 17}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{- 17}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 6}{4} + \frac{- 17 \cdot 2}{4}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10 \cdot 4 - 6 - 17 \cdot 2}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $10$ par $4$ .

$\frac{40 - 6 - 17 \cdot 2}{4}$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 17$ par $2$ .

$\frac{40 - 6 - 34}{4}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Soustrayez $6$ de $40$ .

$\frac{34 - 34}{4}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $34$ de $34$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 4.6.3

Divisez $0$ par $4$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{1}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$
	$2$	$- 6$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 6)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 17)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$	$- 3$
	$2$	$- 6$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$	$- 3$
	$2$	$- 6$	$- 20$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 20)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 10)$ sous le terme suivant dans le dividende $(10)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$	$- 3$	$- 10$
	$2$	$- 6$	$- 20$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 17$	$10$
		$1$	$- 3$	$- 10$
	$2$	$- 6$	$- 20$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{2} + - 6 x - 20$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{2} - 6 x - 20$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 6 x - 20$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) - 6 x - 20)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) - 20)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 \cdot - 10)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 3 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot - 10)$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot - 10$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - 3 x - 10))$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 8.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((x - 5) (x + 2)))$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x - 5) (x + 2))$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Factorisez $2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 9.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 9.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2, \pm 2.5$

Étape 9.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 9.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 7 \cdot {0.5}^{2} - 17 \cdot 0.5 + 10$

Étape 9.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 7 \cdot {0.5}^{2} - 17 \cdot 0.5 + 10$

Étape 9.1.3.3

Multipliez $2$ par $0.125$ .

$0.25 - 7 \cdot {0.5}^{2} - 17 \cdot 0.5 + 10$

Étape 9.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.25 - 7 \cdot 0.25 - 17 \cdot 0.5 + 10$

Étape 9.1.3.5

Multipliez $- 7$ par $0.25$ .

$0.25 - 1.75 - 17 \cdot 0.5 + 10$

Étape 9.1.3.6

Soustrayez $1.75$ de $0.25$ .

$- 1.5 - 17 \cdot 0.5 + 10$

Étape 9.1.3.7

Multipliez $- 17$ par $0.5$ .

$- 1.5 - 8.5 + 10$

Étape 9.1.3.8

Soustrayez $8.5$ de $- 1.5$ .

$- 10 + 10$

Étape 9.1.3.9

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$0$

Étape 9.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10}{2 x - 1}$

Étape 9.1.5

Divisez $2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$ par $2 x - 1$ .

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Étape 9.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$10$

Étape 9.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$

Étape 9.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 9.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 9.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Étape 9.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$

Étape 9.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$

Étape 9.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 9.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 9.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$

Étape 9.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$

Étape 9.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 20 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$

Étape 9.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$
							-	$20 x$	+	$10$

Étape 9.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 20 x + 10$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$
							+	$20 x$	-	$10$

Étape 9.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$17 x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$20 x$	+	$10$
							+	$20 x$	-	$10$
										$0$

Étape 9.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 3 x - 10$

Étape 9.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 7 x^{2} - 17 x + 10$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

Étape 9.2

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 9.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(2 x - 1) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Étape 9.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 11

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 12

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 13

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, 5, - 2$

Étape 15