Ensembles finis Exemples

${(x + 2 y)}^{2}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(x + 2 y)}^{2}$ , $n = 2$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $3$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 2 - 1$ .

$1 a^{2} b^{0} + 2 a b + 1 a^{0} b^{2}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $x$ et $b$ $2 y$ dans l’expression.

$1 {(x)}^{2} {(2 y)}^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{2}$ par $1$ .

${(x)}^{2} {(2 y)}^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$x^{2} (2^{0} y^{0}) + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2^{0} x^{2} y^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 x^{2} y^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} y^{0} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} \cdot 1 + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + 2 {(x)}^{1} {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.8

Simplifiez

$x^{2} + 2 x {(2 y)}^{1} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.9

Simplifiez

$x^{2} + 2 x (2 y) + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 2 \cdot 2 x y + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} + 4 x y + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.12

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{2} + 4 x y + {(x)}^{0} {(2 y)}^{2}$

Étape 4.13

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} + 4 x y + 1 {(2 y)}^{2}$

Étape 4.14

Multipliez ${(2 y)}^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + 4 x y + {(2 y)}^{2}$

Étape 4.15

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$x^{2} + 4 x y + 2^{2} y^{2}$

Étape 4.16

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$