Ensembles finis Exemples

$| 3 x - 1 | + 2 > 5 x$

Étape 1

Écrivez $| 3 x - 1 | + 2 > 5 x$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$3 x - 1 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$3 x \geq 1$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x \geq 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x \geq 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{1}{3}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{1}{3}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{1}{3}$

Étape 1.3

Dans la partie où $3 x - 1$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$3 x - 1 + 2 > 5 x$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$3 x - 1 < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.5.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$3 x < 1$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $3 x < 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x < 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{1}{3}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} < \frac{1}{3}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{1}{3}$

Étape 1.6

Dans la partie où $3 x - 1$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (3 x - 1) + 2 > 5 x$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 3 x - 1 + 2 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - (3 x - 1) + 2 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 1.8

Additionnez $- 1$ et $2$ .

${\begin{cases} 3 x + 1 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - (3 x - 1) + 2 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 1.9

Simplifiez $- (3 x - 1) + 2 > 5 x$ .

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Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 3 x + 1 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - (3 x) - - 1 + 2 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 3 x + 1 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 x - - 1 + 2 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 3 x + 1 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 x + 1 + 2 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.2

Additionnez $1$ et $2$ .

${\begin{cases} 3 x + 1 > 5 x & x \geq \frac{1}{3} \\ - 3 x + 3 > 5 x & x < \frac{1}{3} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $3 x + 1 > 5 x$ quand $x \geq \frac{1}{3}$ .

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Étape 2.1

Résolvez $3 x + 1 > 5 x$ pour $x$ .

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Étape 2.1.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 2.1.1.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x + 1 - 5 x > 0$

Étape 2.1.1.2

Soustrayez $5 x$ de $3 x$ .

$- 2 x + 1 > 0$

Étape 2.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x > - 1$

Étape 2.1.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x > - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x > - 1$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.1.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x < \frac{1}{2}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x < \frac{1}{2}$ et $x \geq \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \leq x < \frac{1}{2}$

Étape 3

Résolvez $- 3 x + 3 > 5 x$ quand $x < \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.1

Résolvez $- 3 x + 3 > 5 x$ pour $x$ .

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Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1.1.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 3 x + 3 - 5 x > 0$

Étape 3.1.1.2

Soustrayez $5 x$ de $- 3 x$ .

$- 8 x + 3 > 0$

Étape 3.1.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 8 x > - 3$

Étape 3.1.3

Divisez chaque terme dans $- 8 x > - 3$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 3.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- 8 x > - 3$ par $- 8$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 8 x}{- 8} < \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

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Étape 3.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 x}{- 8} < \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.1.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 3}{- 8}$

Étape 3.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x < \frac{3}{8}$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < \frac{3}{8}$ et $x < \frac{1}{3}$ .

$x < \frac{1}{3}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$x < \frac{1}{2}$

Étape 5

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, \frac{1}{2})$

Étape 6