Ensembles finis Exemples

$| 2 x - 4 | < | x - 1 |$

Étape 1

Remplacez $<$ par $=$ dans $| 2 x - 4 | < | x - 1 |$ .

$| 2 x - 4 | = | x - 1 |$

Étape 2

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$2 x - 4 = x - 1$

$2 x - 4 = - (x - 1)$

$- (2 x - 4) = x - 1$

$- (2 x - 4) = - (x - 1)$

Étape 3

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$2 x - 4 = x - 1$

$2 x - 4 = - (x - 1)$

Étape 4

Résolvez $2 x - 4 = x - 1$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - 4 - x = - 1$

Étape 4.1.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$x - 4 = - 1$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 1 + 4$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$x = 3$

Étape 5

Résolvez $2 x - 4 = - (x - 1)$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $- (x - 1)$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$2 x - 4 = 0 + 0 - (x - 1)$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$2 x - 4 = - (x - 1)$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 4 = - x - - 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x - 4 = - x + 1$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x - 4 + x = 1$

Étape 5.2.2

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$3 x - 4 = 1$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1 + 4$

Étape 5.3.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$3 x = 5$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $3 x = 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 5$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$x = 3, \frac{5}{3}$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 3$

$x > 3$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{5}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{5}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$| 2 (0) - 4 | < | (0) - 1 |$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $4$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{3} < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{3} < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$| 2 (2) - 4 | < | (2) - 1 |$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$| 2 (6) - 4 | < | (6) - 1 |$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $8$ n’est pas inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{5}{3}$ Faux

$\frac{5}{3} < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < \frac{5}{3}$ Faux

$\frac{5}{3} < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{5}{3} < x < 3$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(\frac{5}{3}, 3)$

Étape 11