Ensembles finis Exemples

$| x^{2} - 5 | < 4 x$

Étape 1

Écrivez $| x^{2} - 5 | < 4 x$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x^{2} - 5 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 5$

Étape 1.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{5}$

Étape 1.2.4

Écrivez $| x | \geq \sqrt{5}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.2.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.2.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.2.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.2.5

Déterminez l’intersection de $x \geq \sqrt{5}$ et $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{5}$

Étape 1.2.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq \sqrt{5}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq \sqrt{5}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Étape 1.2.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

Étape 1.2.6.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{5}$ comme $- \sqrt{5}$ .

$x \leq - \sqrt{5}$

Étape 1.2.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - \sqrt{5}$ ou $x \geq \sqrt{5}$

Étape 1.3

Dans la partie où $x^{2} - 5$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x^{2} - 5 < 4 x$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x^{2} - 5 < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.5.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} < 5$

Étape 1.5.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{5}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | < \sqrt{5}$

Étape 1.5.4

Écrivez $| x | < \sqrt{5}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.5.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.5.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x < \sqrt{5}$

Étape 1.5.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.5.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x < \sqrt{5}$

Étape 1.5.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x < \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x < \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.5.5

Déterminez l’intersection de $x < \sqrt{5}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x < \sqrt{5}$

Étape 1.5.6

Résolvez $- x < \sqrt{5}$ quand $x < 0$ .

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Étape 1.5.6.1

Divisez chaque terme dans $- x < \sqrt{5}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.5.6.1.1

Divisez chaque terme dans $- x < \sqrt{5}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Étape 1.5.6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Étape 1.5.6.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Étape 1.5.6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.6.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \sqrt{5}$

Étape 1.5.6.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{5}$ comme $- \sqrt{5}$ .

$x > - \sqrt{5}$

Étape 1.5.6.2

Déterminez l’intersection de $x > - \sqrt{5}$ et $x < 0$ .

$- \sqrt{5} < x < 0$

Étape 1.5.7

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

Étape 1.6

Dans la partie où $x^{2} - 5$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (x^{2} - 5) < 4 x$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - (x^{2} - 5) < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $- (x^{2} - 5) < 4 x$ .

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Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} - - 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Étape 1.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} + 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $x^{2} - 5 < 4 x$ quand $x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5}$ .

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Étape 2.1

Résolvez $x^{2} - 5 < 4 x$ pour $x$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 5 - 4 x < 0$

Étape 2.1.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 5 - 4 x = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{2} - 5 - 4 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 2.1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Étape 2.1.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.1.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.1.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.1.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.1.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.1.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 5, - 1$

Étape 2.1.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Étape 2.1.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.1.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 2.1.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{2} - 5 < 4 (- 4)$

Étape 2.1.9.1.3

Le côté gauche $11$ n’est pas inférieur au côté droit $- 16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.1.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.1.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 5 < 4 (0)$

Étape 2.1.9.2.3

Le côté gauche $- 5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.1.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 2.1.9.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{2} - 5 < 4 (8)$

Étape 2.1.9.3.3

Le côté gauche $59$ n’est pas inférieur au côté droit $32$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.1.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 2.1.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < 5$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $- 1 < x < 5$ et $x \leq - \sqrt{5} o r + x \geq \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} \leq x < 5$

Étape 3

Résolvez $- x^{2} + 5 < 4 x$ quand $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

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Étape 3.1

Résolvez $- x^{2} + 5 < 4 x$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} + 5 - 4 x < 0$

Étape 3.1.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 5 - 4 x = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 5 - 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1

Déplacez $5$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Étape 3.1.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Étape 3.1.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Étape 3.1.3.1.4

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Étape 3.1.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Étape 3.1.3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Étape 3.1.3.2

Factorisez.

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Étape 3.1.3.2.1

Factorisez $x^{2} + 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 3.1.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Étape 3.1.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Étape 3.1.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 3.1.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.1.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.1.6

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3.1.6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 3.1.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 1) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 1, - 5$

Étape 3.1.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Étape 3.1.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 3.1.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 8)}^{2} + 5 < 4 (- 8)$

Étape 3.1.9.1.3

Le côté gauche $- 59$ est inférieur au côté droit $- 32$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.1.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.1.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(0)}^{2} + 5 < 4 (0)$

Étape 3.1.9.2.3

Le côté gauche $5$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.1.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 3.1.9.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(4)}^{2} + 5 < 4 (4)$

Étape 3.1.9.3.3

Le côté gauche $- 11$ est inférieur au côté droit $16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.1.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 3.1.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $x > 1$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < - 5 or x > 1$ et $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

$1 < x < \sqrt{5}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$1 < x < 5$

Étape 5

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(1, 5)$

Étape 6