Ensembles finis Exemples

$(7) | x + 5 | + 8 > 5$

Étape 1

Écrivez $7 | x + 5 | + 8 > 5$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x + 5 \geq 0$

Étape 1.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 5$

Étape 1.3

Dans la partie où $x + 5$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$7 (x + 5) + 8 > 5$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x + 5 < 0$

Étape 1.5

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < - 5$

Étape 1.6

Dans la partie où $x + 5$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$7 (- (x + 5)) + 8 > 5$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 7 (x + 5) + 8 > 5 & x \geq - 5 \\ 7 (- (x + 5)) + 8 > 5 & x < - 5 \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $7 (x + 5) + 8 > 5$ .

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 7 x + 7 \cdot 5 + 8 > 5 & x \geq - 5 \\ 7 (- (x + 5)) + 8 > 5 & x < - 5 \end{cases}$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $7$ par $5$ .

${\begin{cases} 7 x + 35 + 8 > 5 & x \geq - 5 \\ 7 (- (x + 5)) + 8 > 5 & x < - 5 \end{cases}$

Étape 1.8.2

Additionnez $35$ et $8$ .

${\begin{cases} 7 x + 43 > 5 & x \geq - 5 \\ 7 (- (x + 5)) + 8 > 5 & x < - 5 \end{cases}$

Étape 1.9

Simplifiez $7 (- (x + 5)) + 8 > 5$ .

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Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 7 x + 43 > 5 & x \geq - 5 \\ 7 (- x - 1 \cdot 5) + 8 > 5 & x < - 5 \end{cases}$

Étape 1.9.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

${\begin{cases} 7 x + 43 > 5 & x \geq - 5 \\ 7 (- x - 5) + 8 > 5 & x < - 5 \end{cases}$

Étape 1.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 7 x + 43 > 5 & x \geq - 5 \\ 7 (- x) + 7 \cdot - 5 + 8 > 5 & x < - 5 \end{cases}$

Étape 1.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

${\begin{cases} 7 x + 43 > 5 & x \geq - 5 \\ - 7 x + 7 \cdot - 5 + 8 > 5 & x < - 5 \end{cases}$

Étape 1.9.1.5

Multipliez $7$ par $- 5$ .

${\begin{cases} 7 x + 43 > 5 & x \geq - 5 \\ - 7 x - 35 + 8 > 5 & x < - 5 \end{cases}$

Étape 1.9.2

Additionnez $- 35$ et $8$ .

${\begin{cases} 7 x + 43 > 5 & x \geq - 5 \\ - 7 x - 27 > 5 & x < - 5 \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $7 x + 43 > 5$ quand $x \geq - 5$ .

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Étape 2.1

Résolvez $7 x + 43 > 5$ pour $x$ .

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Étape 2.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1.1.1

Soustrayez $43$ des deux côtés de l’inégalité.

$7 x > 5 - 43$

Étape 2.1.1.2

Soustrayez $43$ de $5$ .

$7 x > - 38$

Étape 2.1.2

Divisez chaque terme dans $7 x > - 38$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x > - 38$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} > \frac{- 38}{7}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} > \frac{- 38}{7}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- 38}{7}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x > - \frac{38}{7}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x > - \frac{38}{7}$ et $x \geq - 5$ .

$x \geq - 5$

Étape 3

Résolvez $- 7 x - 27 > 5$ quand $x < - 5$ .

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Étape 3.1

Résolvez $- 7 x - 27 > 5$ pour $x$ .

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Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1.1.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 7 x > 5 + 27$

Étape 3.1.1.2

Additionnez $5$ et $27$ .

$- 7 x > 32$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 7 x > 32$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 7 x > 32$ par $- 7$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 7 x}{- 7} < \frac{32}{- 7}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 x}{- 7} < \frac{32}{- 7}$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{32}{- 7}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x < - \frac{32}{7}$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < - \frac{32}{7}$ et $x < - 5$ .

$x < - 5$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

Tous les nombres réels

Étape 5

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Étape 6