Ensembles finis Exemples

$x^{2} + 3 x + 8 > 3 - 3 x$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} + 3 x + 8 + 3 x > 3$

Étape 1.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 8 > 3$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 6 x + 8 = 3$

Étape 3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 6 x + 8 - 3 = 0$

Étape 4

Soustrayez $3$ de $8$ .

$x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x + 5) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 8

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 5$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$x > - 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 8)}^{2} + 3 (- 8) + 8 > 3 - 3 \cdot - 8$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $48$ est supérieur au côté droit $27$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{2} + 3 (- 3) + 8 > 3 - 3 \cdot - 3$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $8$ n’est pas supérieur au côté droit $12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 3 (0) + 8 > 3 - 3 \cdot 0$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 1$ Faux

$x > - 1$ Vrai

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 1$ Faux

$x > - 1$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $x > - 1$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 5) \cup (- 1, \infty)$

Étape 14