Ensembles finis Exemples

$| \frac{6 y + 4}{2} | + 8 > 2$

Étape 1

Écrivez $| \frac{6 y + 4}{2} | + 8 > 2$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$\frac{6 y + 4}{2} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun à $6 y + 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 y$ .

$\frac{2 (3 y) + 4}{2} \geq 0$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} \geq 0$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 y) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{2} \geq 0$

Étape 1.2.1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} \geq 0$

Étape 1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} \geq 0$

Étape 1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y + 2}{1} \geq 0$

Étape 1.2.1.4.4

Divisez $3 y + 2$ par $1$ .

$3 y + 2 \geq 0$

Étape 1.2.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 y \geq - 2$

Étape 1.2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 y \geq - 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y \geq - 2$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} \geq \frac{- 2}{3}$

Étape 1.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} \geq \frac{- 2}{3}$

Étape 1.2.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y \geq \frac{- 2}{3}$

Étape 1.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y \geq - \frac{2}{3}$

Étape 1.3

Dans la partie où $\frac{6 y + 4}{2}$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$\frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$\frac{6 y + 4}{2} < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun à $6 y + 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 y$ .

$\frac{2 (3 y) + 4}{2} < 0$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} < 0$

Étape 1.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 y) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{2} < 0$

Étape 1.5.1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} < 0$

Étape 1.5.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} < 0$

Étape 1.5.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y + 2}{1} < 0$

Étape 1.5.1.4.4

Divisez $3 y + 2$ par $1$ .

$3 y + 2 < 0$

Étape 1.5.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 y < - 2$

Étape 1.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 y < - 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y < - 2$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} < \frac{- 2}{3}$

Étape 1.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} < \frac{- 2}{3}$

Étape 1.5.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y < \frac{- 2}{3}$

Étape 1.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y < - \frac{2}{3}$

Étape 1.6

Dans la partie où $\frac{6 y + 4}{2}$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $\frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Annulez le facteur commun à $6 y + 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 y$ .

${\begin{cases} \frac{2 (3 y) + 4}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${\begin{cases} \frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 y) + 2 (2)$ .

${\begin{cases} \frac{2 (3 y + 2)}{2} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.8.1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${\begin{cases} \frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.8.1.4.2

Annulez le facteur commun.

${\begin{cases} \frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.8.1.4.3

Réécrivez l’expression.

${\begin{cases} \frac{3 y + 2}{1} + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.8.1.4.4

Divisez $3 y + 2$ par $1$ .

${\begin{cases} 3 y + 2 + 8 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.8.2

Additionnez $2$ et $8$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9

Simplifiez $- \frac{6 y + 4}{2} + 8 > 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1

Annulez le facteur commun à $6 y + 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 y$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y) + 4}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y) + 2 \cdot 2}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 y) + 2 (2)$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y + 2)}{2} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y + 2)}{2 (1)} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{2 (3 y + 2)}{2 \cdot 1} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - \frac{3 y + 2}{1} + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.1.4.4

Divisez $3 y + 2$ par $1$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - (3 y + 2) + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - (3 y) - 1 \cdot 2 + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - 3 y - 1 \cdot 2 + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - 3 y - 2 + 8 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 1.9.2

Additionnez $- 2$ et $8$ .

${\begin{cases} 3 y + 10 > 2 & y \geq - \frac{2}{3} \\ - 3 y + 6 > 2 & y < - \frac{2}{3} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $3 y + 10 > 2$ quand $y \geq - \frac{2}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Résolvez $3 y + 10 > 2$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 y > 2 - 10$

Étape 2.1.1.2

Soustrayez $10$ de $2$ .

$3 y > - 8$

Étape 2.1.2

Divisez chaque terme dans $3 y > - 8$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y > - 8$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} > \frac{- 8}{3}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} > \frac{- 8}{3}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y > \frac{- 8}{3}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y > - \frac{8}{3}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $y > - \frac{8}{3}$ et $y \geq - \frac{2}{3}$ .

$y \geq - \frac{2}{3}$

Étape 3

Résolvez $- 3 y + 6 > 2$ quand $y < - \frac{2}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Résolvez $- 3 y + 6 > 2$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 3 y > 2 - 6$

Étape 3.1.1.2

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 3 y > - 4$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 3 y > - 4$ par $- 3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y > - 4$ par $- 3$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 3 y}{- 3} < \frac{- 4}{- 3}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y}{- 3} < \frac{- 4}{- 3}$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y < \frac{- 4}{- 3}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y < \frac{4}{3}$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $y < \frac{4}{3}$ et $y < - \frac{2}{3}$ .

$y < - \frac{2}{3}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

Tous les nombres réels

Étape 5

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Étape 6