Ensembles finis Exemples

$\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3} > 0$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 2)}^{1} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez

$(x + 2) {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{x - 3}}^{2}$ comme $x - 3$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 3}$ comme ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x + 2) {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 2) {(x - 3)}^{1} > 0^{2}$

Étape 2.2.1.4.5

Simplifiez

$(x + 2) (x - 3) > 0^{2}$

Étape 2.2.1.5

Développez $(x + 2) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 3) + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Étape 2.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Étape 2.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Étape 2.2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Étape 2.2.1.6.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Étape 2.2.1.6.1.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 > 0^{2}$

Étape 2.2.1.6.2

Additionnez $- 3 x$ et $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 > 0^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - x - 6 > 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 3, - 2$

Étape 4

Déterminez le domaine de $\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3}$ .

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Étape 4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 2 \geq 0$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 2$

Étape 4.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 3 \geq 0$

Étape 4.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 3$

Étape 4.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[3, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(- 4) + 2} \sqrt{(- 4) - 3} > 0$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $3.74165738$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(0) + 2} \sqrt{(0) - 3} > 0$

Étape 6.2.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(6) + 2} \sqrt{(6) - 3} > 0$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $4.89897948$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $x > 3$

Étape 8

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

Étape 9