Ensembles finis Exemples

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 y, 3, 1, 1$

Étape 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2$

Étape 2.5

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 2.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $4, 3, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Étape 2.8

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 3$

Étape 2.8.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12$

Étape 2.9

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y^{1} = y$

$y$ se produit $1$ fois.

Étape 2.10

Le plus petit multiple commun de $y^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y$

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun pour $4 y, 3, 1, 1$ est la partie numérique $12$ multipliée par la partie variable.

$12 y$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ par $12 y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ par $12 y$ .

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4 y$ .

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $12 y$ .

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.8.1

Déplacez $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.8.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

Étape 4

Résolvez l’inégalité.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $24 y$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

Étape 4.1.2

Soustrayez $24 y$ de $- 4 y$ .

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

Étape 4.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = - 12$ , $b = - 28$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 28$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $48$ par $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $784$ et $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $928$ comme $4^{2} \cdot 58$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Étape 4.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1.1

Élevez $- 28$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

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Étape 4.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.6.1.2.2

Multipliez $48$ par $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.6.1.3

Additionnez $784$ et $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.6.1.4

Réécrivez $928$ comme $4^{2} \cdot 58$ .

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Étape 4.6.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.6.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Étape 4.6.3

Simplifiez $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Étape 4.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Étape 4.6.5

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1.1

Élevez $- 28$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

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Étape 4.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.7.1.2.2

Multipliez $48$ par $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.7.1.3

Additionnez $784$ et $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.7.1.4

Réécrivez $928$ comme $4^{2} \cdot 58$ .

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Étape 4.7.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.7.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Étape 4.7.2

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Étape 4.7.3

Simplifiez $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Étape 4.7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Étape 4.7.5

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Étape 4.8

Consolidez les solutions.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Étape 5

Déterminez le domaine de $\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ .

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{4 y}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 y = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 y = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y = 0$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$y = 0$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 5$

Étape 7.1.2

Remplacez $y$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $- 0.38\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 1$

Étape 7.2.2

Remplacez $y$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $- 0.58\overline{3}$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 0.05$

Étape 7.3.2

Remplacez $y$ par $0.05$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $4.\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $2.05$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 3$

Étape 7.4.2

Remplacez $y$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

Étape 7.4.3

Le côté gauche $- 0.25$ est inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Faux

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Vrai

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Faux

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Vrai

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Faux

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Vrai

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Faux

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ ou $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Étape 9

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

Étape 10