Ensembles finis Exemples

$\frac{x - 5}{x - 3} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 5$

$x = 3$

Étape 5

Consolidez les solutions.

$x = 5, 3$

Étape 6

Déterminez le domaine de $\frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 5}{x - 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 5}{(0) - 3} < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $1.\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) - 5}{(4) - 3} < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(8) - 5}{(8) - 3} < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $0.6$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 3$ Faux

$3 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < 3$ Faux

$3 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$3 < x < 5$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(3, 5)$

Étape 11