Ensembles finis Exemples

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 < 20$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 - 20 < 0$

Étape 1.2

Soustrayez $20$ de $0.5$ .

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 < 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = - 5$ , $b = 22$ et $c = - 19.5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 19.5)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $20$ par $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $390$ de $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $20$ par $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $390$ de $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $20$ par $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $390$ de $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 5 {(0)}^{2} + 22 (0) + 0.5 < 20$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0.5$ est inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$- 5 {(2)}^{2} + 22 (2) + 0.5 < 20$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $24.5$ n’est pas inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$- 5 {(6)}^{2} + 22 (6) + 0.5 < 20$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 47.5$ est inférieur au côté droit $20$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ Vrai

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Faux

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Vrai

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ Vrai

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Faux

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ ou $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}) \cup (\frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \infty)$

Étape 13